题目内容

4．如图所示，在上端开口的圆柱形容器中盛有适量水，水中放置一圆柱体，圆柱体高H=0.6m，密度ρ柱=3.0×103kg/m3，其上表面距水面L=1m，容器与圆柱体的横截面积分别为S面=3×10-2m2，和S柱=1×10-2m2，现将绳以v=0.1m/s的速度竖直向上匀速提升圆柱体，直至离开水面，已知水的密度ρ水=1.0×103kg/m3，g取10N/kg，水的阻力忽略不计．
（1）在圆柱体从开始运动到上表面刚露出水面过程中，求绳拉力对圆柱体做的功；
（2）在圆柱体上表面刚露出水面到其底面离开水面过程中，求绳的拉力随时间变化关系式；
（3）在给出的坐标纸上画出（2）中绳的拉力的功率P随时间变化的图象．

分析 （1）先求出圆柱体的体积，根据密度公式求出圆柱体的质量，根据G=mg求出重力，圆柱体完全浸没时排开水的体积和自身的体积相等，根据阿基米德原理求出受到的浮力，圆柱体的重力减去受到的浮力即为绳子的拉力，利用W=Fs求出绳拉力对圆柱体做的功；
（2）从圆柱体上表面刚露出水面时开始计时，根据v=$\frac{s}{t}$得出时间t内圆柱体重物上升的高度，再根据体积公式物体上升时引起液面下降的高度，从而得出圆柱体排开水的体积，根据阿基米德原理表示出圆柱体受到的浮力，然后得出绳的拉力，从而得出答案；
（3）当圆柱体离开水面时，排开水的体积为零，据此求出圆柱头疼离开水面的时间，然后根据P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv求出这段时间内拉力的功率，当圆柱体离开水面时绳子的拉力和自身的重力相等，根据P=Fv求出此时的功率，据此作出绳的拉力的功率P随时间变化的图象．

解答 解：（1）圆柱体的体积：
V柱=S柱H=1×10-2m2×0.6m=6×10-3m3，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，圆柱体的质量：
m柱=ρ柱V柱=3.0×103m3×6×10-3m3=18kg，
圆柱体的重力：
G=m柱g=18kg×10N/kg=180N，
圆柱体完全浸没在水中，排开水的体积：
V排=V柱=6×10-3m3，
受到的浮力：
F浮=ρ水gV排=1.0×103kg/m3×10N/kg×6×10-3m3=60N，
则绳拉力对圆柱体的拉力：
F拉=G-F浮=180N-60N=120N，
绳拉力对圆柱体做的功：
W=F拉L=120N×1m=120J；
（2）从圆柱体上表面刚露出水面时开始计时，
由v=$\frac{s}{t}$可得，在时间为t时，圆柱体重物上升的高度：
h=vt=0.1m/s×t，
设水面下降的高度为h0，则
h0（S面-S柱）=hS柱，即h0（3×10-2kg/m2-1×10-2kg/m2）=0.1m/s×t×1×10-2kg/m2，
解答，h0=0.05m/s×t，
所以，圆柱体排开水的体积：
V排′=H•S柱-（h+h0）•S柱
=6×10-3m3-（0.1m/s×t+0.05m/s×t）×1×10-2kg/m2
=6×10-3m3-1.5×10-3（m3/s）×t，
圆柱体受到的浮力：
F浮′=ρ水gV排′=1.0×103kg/m3×10N/kg×[6×10-3m3-1.5×10-3（m3/s）×t]=60N-15N/s×t，
绳的拉力：
F拉′=G-F浮′=180N-（60N-15N/s×t）=120N+15N/s×t，
（3）当圆柱体离开水面时，排开水的体积为零，
则V排′=H•S柱-（h+h0）•S柱=0，即6×10-3m3-1.5×10-3（m3/s）×t=0，
解得：t=4s，
在0～4s内，由P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv可得，拉力的功率：
P=F拉′v=（120N+15N/s×t）×0.1m/s=12W+1.5W/s×t，
4s以后，拉力的功率：
P=F拉″v=Gv=180N×0.1m/s=18W，
绳的拉力的功率P随时间变化的图象，如下图所示：

答：（1）在圆柱体从开始运动到上表面刚露出水面过程中，绳拉力对圆柱体做的功为120J；
（2）在圆柱体上表面刚露出水面到其底面离开水面过程中，绳的拉力随时间变化关系式为F拉=120N+15N/s×t；
（3）绳的拉力的功率P随时间变化的图象如上图所示．

点评 本题考查了密度公式和重力公式、阿基米德原理、做功功率、功率公式的应用，关键是会计算物体上升时引起液面下降的计算．

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发光情况刚发光较亮很亮
U/V 2.003.00
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