Question

某科技小组的同学们设计制作了一个多档位电热器模型，为了分析接入电路的电阻对电热器电功率的影响，他们将电表接入电路中，如图所示．当只闭合开关S₁时，电压表和电流表的示数分别为U₁和I₁，电阻R₃消耗的电功率为P₃；当只闭合开关S₂时，电压表和电流表的示数分别为U₂和I₂，电阻R₃消耗的电功率为P₃′，并测得此时R₂消耗的电功率的电功率为1.6W，已知U₂=2U₁，P₃=4P₃′，（电源电压、电阻保持不变）要求：
（1）计算出电流I₁与I₂的比值．
（2）计算出电阻R₁与R₂的比值．
（3）通过测量与分析发现：当开关S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗的电功率为最大，请你计算出这个电功率．

Answer 1

分析：（1）当只闭合开关S₁时，R₁与R₃串联，电压表测量R₁两端的电压，电流表测量电路总电流，电阻R₃消耗的电功率为P₃=I₁²R₃，当只闭合开关S₂时，R₂与R₃串联，电阻R₃消耗的电功率为P′₃=I₂²R₃，已知两功率之比，可求电流I₁与I₂的比值．
（2）根据欧姆定律可知，I₁=

U1

R1

，I₂=

U2

R2

，已知电流之比和电压之比，可求电阻R₁与R₂的比值．
（3）当开关S₁、S₂、S₃都闭合时，电阻R₁与R₂并联，R₃被短路，根据公式 P=

U2

R

可求电功率，电源电压根据欧姆定律可求出表达式，再利用电阻R₁与R₂的关系和电流I₁与I₂的比值的关系求出电源电压．

解答：解：（1）电阻R₃消耗的电功率之比

P3

P3′

=

I 2 1 R3

I 2 2 R3

=

4

1

，
得

I 2 1

I 2 2

=

4

1

，
所以电流I₁与I₂的比值

I1

I2

=

2

1

．
答：电流I₁与I₂的比值为2：1．
（2）电阻R₁与R₂的比值

R1

R2

=

U1 I1

U2 I2

=

U1I2

U2I1

=

1×1

2×2

=

1

4

．
答：电阻R₁与R₂的比值为1：4．
（3）设电源电压为U，
当只闭合开关S₁时U=I₁R₁+I₁R₃，
当只闭合开关S₂时U=I₂R₂+I₂R₃，
所以I₁R₁+I₁R₃=I₂R₂+I₂R₃，
因为电流I₁与I₂的比值为2：1，电阻R₁与R₂的比值为1：4，
所以I₂R₃=

1

2

I₂R₂，
所以电源电压U=I₂R₂+

1

2

I₂R₂=

3

2

I₂R₂，
电路消耗的总功率P=

U2

R1

+

U2

R2

=

( 3 2 I2R2)2

R1

+

( 3 2 I2R2)2

R2

=

9

4

I₂²R₂×

R2

R1

+

9

4

I

2 2

R2=

9

4

×1.6W×4+

9

4

×1.6W=18W．
答：电路消耗的电功率为18W．

点评：本题考查电流之比、电阻之比以及电功率的计算，关键是正确分析开关断开与闭合是电路的连接情况，本题的难点是计算电功率，重点是欧姆定律的应用．