Question

7．如图所示．底面积为S的圆柱形薄壁容器内装有密度为ρ的液体．密度为ρ₀、横截面积为S₀、高度为h₀的圆柱形物块由一段非弹性细线与天花板相连，且部分浸入液体中，细线刚好被拉直．打开容器底部的抽液机匀速向外排液，若细线能承受的最大拉力为T，当细线上拉力为T时，停止排液．请解答下列问题：

（1）细线刚好被拉直，物块浸入液体中的深度；
（2）推导出细线被拉断前．细线对物块拉力F与抽液机排出的液体质量m之间的关系式；
（3）在图乙中，定性画出物体所受浮力与抽液机排出的液体质量m变化关系．

Answer 1

分析 （1）细线刚好被拉直，则物块不受拉力作用，此时有G=F_浮，根据G=mg、ρ=$\frac{m}{V}$表示出重力，根据阿基米德原理表示出浮力，联立求解即可得出答案；
（2）设抽液机排出的液体质量m，容器内液面下降的高度为h′，则下降部分的液体的体积为V′=（S-S₀）h′，由此得出h′的表达式，
根据细线被拉断前，细线对物块的拉力等于重力与浮力之差得出细线对木块拉力F与抽液机排出的液体质量m之间的关系式；
（3）物块排开液体的质量越多，排开液体的体积越多，根据F_浮=ρ_液gV_排可知，所受浮力越小，据此画出物体所受浮力与抽液机排出的液体质量m变化关系图象．

解答 解：（1）圆柱体物块的体积：V₀=S₀h₀，
圆柱体物块的质量：m₀=ρ₀V₀=ρ₀S₀h₀，
圆柱体物块的重力：G=m₀g=ρ₀S₀h₀g，
设物块浸入液体中的深度为h，细线刚好被拉直，
此时物块不受拉力作用，物块漂浮时受力情况如图所示：

所以有G=F_浮．
则圆柱形物块排开液体的体积：V_排=S₀h，
根据阿基米德原理可知，圆柱形物块受到的浮力：F_浮=ρ_液gV_排=ρS₀hg，
则有：ρ₀S₀h₀g=ρS₀hg，
所以物块浸入液体中的深度：h=$\frac{{ρ}_{0}{S}_{0}{h}_{0}g}{ρ{S}_{0}g}$=$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$．
（2）设抽液机排出的液体质量m，容器内液面下降的高度为h′，
则下降部分的液体的体积：V′=（S-S₀）h′，
根据$ρ=\frac{m}{V}$可得，V′=$\frac{m}{ρ}$=（S-S₀）h′，
解得液面下降的高度：h′=$\frac{m}{ρ（S-{S}_{0}）}$，
细线被拉断前，受力分析如图所示：

则细线对物块的拉力等于重力与浮力之差，即：
F=G-F_浮′=ρ₀S₀h₀g-ρS₀g（h-h′）=ρ₀S₀h₀g-ρS₀g[$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$-$\frac{m}{ρ（S-{S}_{0}）}$]=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m．
（3）由（2）可知，细线被拉断前圆柱体所受的浮力：
F_浮′=G-F=ρ₀S₀h₀g-$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m，
设横轴表示抽液机排出的液体质量，纵轴表示物体所受浮力，
抽液机刚开始抽液时，即当m=0时，物块不受拉力作用，圆柱体物块处于漂浮状态，
此时F_浮′=G=ρ₀gS₀h₀；
由（2）可知，细线对物块拉力F与抽液机排出的液体质量m之间的关系式：
F=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m，
当细线上拉力为T时，停止排液，
则T=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m，
此时抽液机排出的液体质量：
m=$\frac{T（S-{S}_{0}）}{g{S}_{0}}$，
此时物块受到的浮力：F_浮′=G-T=ρ₀gS₀h₀-T，
则物体所受浮力与抽液机排出的液体质量m变化关系如图所示：

答：（1）细线刚好被拉直，物块浸入液体中的深度为$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$；
（2）细线对木块拉力F与抽液机排出的液体质量m之间的关系式为F=$\frac{g{S}_{0}}{S-{S}_{0}}$m；
（3）物体所受浮力与抽液机排出的液体质量m变化关系见解答图．

点评 此题考查重力的计算、阿基米德原理、二力平衡条件的应用，关键是明白细线刚好被拉直时物块不受拉力作用，难点是得出容器内液面下降的高度的表达式及图象的关键点，其推导过程相当复杂，同学们一定要细心．