Question

1．如图所示，有一个密度为500千克/米³的圆柱形木块甲，底面积为0.06米²、高0.6米．另有底面积为0.03米²的圆柱形薄壁容器乙内装满水，深度为0.4米．求：
（1）木块甲的质量m_甲；
（2）水对乙容器底部的压强p_水．
（3）现在将底面积为0.02米²，高为0.2米的圆柱体A，分别放置在木块甲的中央和浸在乙容器的水中，物体A静止后，为了使木块甲对地面的压强的变化量与乙容器对地面的压强变化量相等，求：圆柱体A密度．

Answer 1

分析 （1）知道甲的底面积和高可求体积，又知道甲的密度，根据m=ρV求出木块甲的质量；
（2）知道乙容器中水的深度，根据p=ρgh求出水对乙容器底部的压强；
（3）①若物体A的密度小于（或等于）水的密度，物体A将漂浮在水面上（或悬浮在水中），根据阿基米德原理和物体浮沉条件可知，圆柱体排开水的重力和自身的重力相等，则圆柱体A浸在乙容器的水中静止后乙容器对地面压强的变化量为零，水平面上物体的压力和自身的重力相等，根据压强公式可知圆柱体A放置在木块甲的中央时木块甲对地面压强的增加量不为零，据此可知此种情况不可能；
②若物体A的密度大于水的密度，物体A将沉入容器底部，排开水的体积和自身的体积相等，根据阿基米德原理表示出受到的浮力，乙容器对地面的压力的变化量等于圆柱体的重力减去受到的浮力，根据p=$\frac{F}{S}$求出乙容器对地面的压强的变化量，根据木块甲对地面的压强的变化量与乙容器对地面的压强变化量相等得出等式即可求出圆柱体A的密度．

解答 解：（1）木块甲的体积：
V_甲=S_甲h_甲=0.06m²×0.6m=0.036m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，木块甲的质量：
m_甲=ρ_甲V_甲=500kg/m³×0.036m³=18kg；
（2）水对乙容器底部的压强：
p_乙=ρ_水gh_乙=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.4m=3920Pa；
（3）a、若物体A的密度小于（或等于）水的密度，物体A将漂浮在水面上（或悬浮在水中），
因物体漂浮（或悬浮）时，受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由阿基米德原理可知，F_浮=G_排=G_A，
则圆柱体A浸在装满水的乙容器中静止后，乙容器对地面的压力变化量为0，压强的变化量△p_乙=0；
因水平面上物体的压力和自身的重力相等，
所以，圆柱体A放置在木块甲的中央时，木块甲对地面压强的增加量：
△p_甲=$\frac{△{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{A}{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{甲}}$--------①，
综上可知，此种情况不可能；
b、若物体A的密度大于水的密度，物体A将沉入容器底部（同时有水溢出），则排开水的体积：
V_排=V_A=S_Ah_A，
此时乙容器对地面的压力的变化量：
△F_乙=G_A-F_浮=m_Ag-F_浮=ρ_AV_Ag-ρ_水gV_排=ρ_AS_Ah_Ag-ρ_水gS_Ah_A=（ρ_A-ρ_水）S_Ah_Ag，
则乙容器对地面的压强的变化量：
△p_乙=$\frac{△{F}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{（{ρ}_{A}-{ρ}_{水}）{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{乙}}$-------②，
因木块甲对地面的压强的变化量与乙容器对地面的压强变化量相等，
所以，$\frac{{ρ}_{A}{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{（{ρ}_{A}-{ρ}_{水}）{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{乙}}$--------③，
根据已知条件可知S_甲=2S_乙 -------④，
将④代入③化简可得，圆柱体A的密度：ρ_A=2ρ_水=2×1.0×10³kg/m³=2×10³kg/m³．
答：（1）木块甲的质量为18kg；
（2）水对乙容器底部的压强为3920Pa；
（3）圆柱体A的密度为2×10³kg/m³．

点评 本题考查了密度公式和液体压强公式、固体压强公式的应用，正确的判断木块甲对地面的压强的变化量与乙容器对地面的压强变化量相等时圆柱体所处的状态是关键．