Question

9．如图所示，电源两端电压为12V且保持不变．当只闭合开关S₁时，电压表V₂的示数为U₂，电阻R₃的功率为4W；当开关S₁和S₂都闭合时，电压表V₁的示数为U₁，电阻R₁的功率为8W．已知U₁=U₂，求电阻R₂的阻值．

Answer 1

分析 先画出两种情况的等效电路图，根据欧姆定律分别表示出甲图中电阻R₃两端电压和图乙中电阻R₁两端电压，利用电压表的示数关系U₁=U₂和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$即可求出R₁、R₃阻值之间的关系，
再根据P=I²R和串联电路特点得出结合电流关系；
利用电压表的示数关系U₁=U₂和欧姆定律求出R₁、R₂阻值之间的关系；
在图乙中利用串联电路电压分配特点求出电阻R₁两端电压为U₀．
根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$即可求出R₁阻值，最后即可求出R₂阻值．

解答 解：当只闭合开关S₁时，等效电路如图甲所示．当开关S₁和S₂都闭合时，等效电路如图乙所示．

设图甲中电阻R₃两端电压为U₃，图乙中电阻R₁两端电压为U₀．
由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$得：U₃=$\sqrt{{P}_{3}{R}_{3}}$，U₀=$\sqrt{{P}_{1}{R}_{1}}$
因为U₁=U₂，所以U₃=U₀．
即：$\sqrt{{P}_{3}{R}_{3}}$=$\sqrt{{P}_{1}{R}_{1}}$，
所以，$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{{P}_{3}}{{P}_{1}}$=$\frac{4W}{8W}$=$\frac{1}{2}$，
则R₃=2R₁ -------①
由P=I²R得：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{\sqrt{\frac{{P}_{3}}{{R}_{3}}}}{\sqrt{\frac{{P}_{1}}{{R}_{1}}}}$=$\sqrt{\frac{{P}_{3}{R}_{1}}{{P}_{1}{R}_{3}}}$=$\sqrt{\frac{4W×1}{8W×2}}$=$\frac{1}{2}$，
则2I₁=I₂----------------②
根据欧姆定律和串联电路的特点可知：
U₂=I₁（R₁+R₂），U₁=I₂R₃，
因为U₁=U₂，所以I₁（R₁+R₂）=I₂R₃ ----------③
由①②③得：R₂=3R₁；
在图乙中，根据串联电路的分压原理可得：
$\frac{{U}_{0}}{U}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+2{R}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
所以，U₀=$\frac{1}{3}$U=$\frac{1}{3}$×12V=4V；
则R₁=$\frac{{{U}_{0}}^{2}}{{P}_{1}}$=$\frac{（4V）^{2}}{8W}$=2Ω，
所以，R₂=3R₁=3×2Ω=6Ω．
答：电阻R₂的阻值为6Ω．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律、电功率公式的应用，关键是画出等效电路图和利用好电压之间的关系．