Question

15．宇航员在一行星上以10m/s的初速度竖直上抛一质量为0.2kg的物体，不计阻力，经2.5s后落回手中，已知该星球半径为7 220km．
（1）该星球表面的重力加速度是多大？
（2）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？
（3）若物体距离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体距离星球球心r时其引力势能E_p=-G$\frac{Mm}{r}$（式中m为物体的质量，M为星球的质量，G为引力常量）．问要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，竖直抛出的速度至少是多大？

Answer 1

分析 （1）根据竖直上抛运动，运用运动学公式求出星球表面的重力加速度．
（2）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，恰好由物体的重力提供向心力，物体绕星球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和向心力公式列式求解．
（3）根据机械能守恒和重力加速度的表达式结合求解．

解答 解：（1）物体做竖直上抛运动，则有t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$；
则得该星球表面的重力加速度g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$=$\frac{2×10m/s}{2.5s}$=8m/s²；
（2）由mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，得v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{8m/{s}^{2}×7220000m}$=7600m/s；
（3）由机械能守恒，得 $\frac{1}{2}$m${{v}_{2}}^{2}$+（-G$\frac{Mm}{R}$）=0+0；
又因g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，所以 v₂=$\sqrt{2gR}$，代入解得，v₂=7600$\sqrt{2}$m/s≈10746m/s．
答：（1）该星球表面的重力加速度g是8m/s²．
（2）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是7600m/s．
（3）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是10746m/s．

点评 解决本题的关键理解第一宇宙速度，掌握竖直上抛运动的规律，并能读懂题给予的信息，运用机械能守恒求解速度问题．