Question

17．“背漂”是儿童练习游泳时常佩戴的一种救生装置．某科技小组的同学为测量背漂浸没在水中时的浮力，进行了如下实验：在底部装有定滑轮的圆台形容器中加入适量的水后，再静放在水平台秤上（如图甲），台秤的示数m₁为6kg，然后把质地均匀的长方体背漂浸入水中，用一轻质的细线通过定滑轮缓慢地将背漂拉入水中，拉力F的方向始终竖直向上，当背漂的一半体积浸入水中时（如图乙），台秤的示数m₂为5kg，当背漂的全部体积浸没在水中时，台秤的示数m₃与m₂相比变化了2kg，则（不考虑滑轮的摩擦，在整个过程中水始终没有溢出，背漂不吸水、不变形，且未与容器接触，取g=10N/kg，ρ_水=1.0×10³kg/m³）；
（1）容器、水和滑轮的总重力为60N；
（2）台秤的示数m₃为3kg；
（3）为确保儿童游泳时的安全，穿上这种背漂的儿童至少把头部露出水面，若儿童头部的体积占人体总体积的十分之一，儿童的密度取1.08×10³kg/m³，则穿着此背漂游泳的儿童体重不能超过21kg（结果保留整数）．

Answer 1

分析 （1）根据G=mg即可求出容器、水和滑轮的总重力；
（2）由于台秤的示数是显示物体对其产生的压力，根据容器对台秤产生的压力变化即可求出G₃，最后求出m₃；
（3）将容器、背漂、水和滑轮看做一个整体，进行受力分析，根据受力平衡，即可求出背漂的重力G和体积V；这种背漂的儿童的总重力应该与背漂和儿童身体的浮力相同．利用F_浮=ρ_水gV_排求儿童最小的体重．

解答 解：
（1）图甲中台秤的示数m₁为6kg，即容器、水和滑轮的总质量为6kg，
则容器、水和滑轮的总重力：G₁=m₁g=6kg×10N/kg=60N；
（2）由于台秤的示数显示了物体对其产生的压力，把容器、水、滑轮和背漂看做一个整体，则受竖直向下的总重力G_背漂+G₁，竖直向上的拉力F_拉和支持力F_支的作用，如下图1所示，
所以由力的平衡条件可得G_背漂+G₁=F_拉+F_支；
当背漂的全部体积浸没在水中时，背漂受到的浮力变大，则通过定滑轮的竖直向上的拉力F_拉变大，所以支持力减小，即容器对台秤产生的压力变小，台秤的示数减小，故m₃＜m₂，
已知m₃与m₂相比变化了2kg，所以m₃=5kg-2kg=3kg；
（3）当背漂的一半体积浸入水中时，台秤的示数m₂为5kg，则容器受到的支持力：
F_支=F_压=G₂=m₂g=5kg×10N/kg=50N；
设背漂的重力为G_背漂，体积为V，
当背漂的一半体积浸入水中时，以背漂为研究对象，受力情况如图2，根据力的平衡条件可得，绳子的拉力：
F₁=F_浮1-G_背漂=ρ_水gV_排1-G_背漂=ρ_水g$\frac{1}{2}$V-G_背漂 ------------------①，
把容器、水、滑轮和背漂看做一个整体，如图1所示，则受竖直向下的总重力G_背漂+G₁，竖直向上的拉力F₁和支持力F_支的作用，

由于容器静止，则：G_背漂+G₁=F₁+F_支 ------------------②，
①代入②可得：G_背漂+G₁=ρ_水g$\frac{1}{2}$V-G_背漂+F_支，
代入数据有：G_背漂+60N=ρ_水g$\frac{1}{2}$V-G_背漂+50N，
整理可得：2G_背漂=ρ_水g$\frac{1}{2}$V-10N--------------------③
当背漂的全部体积浸没在水中时，则容器受到的支持力：
F_支′=F_压′=G₃=m₃g=3kg×10N/kg=30N；
由图2可得，此时的拉力：F₂=F_浮2-G_背漂=ρ_水gV_排2-G_背漂=ρ_水gV-G_背漂 -----------------④，
此时整体受竖直向下的总重力G_背漂+G₁，竖直向上的拉力F₂和支持力F_支′的作用，
由于受力平衡，则：G_背漂+G₁=F₂+F_支′----------------⑤，
由④、⑤并代入数据可得：G_背漂+60N=ρ_水gV-G_背漂+30N，
整理可得：2G_背漂=ρ_水gV-30N--------------------⑥
联立③⑥解得：V=4×10^-3m³，G_背漂=5N；
设儿童的最小质量为m_人，由于儿童和背漂的整体漂浮，所以F_浮总=G_总，
即：F_浮人+F_浮背=G_人+G_背漂，
则：ρ_水g（1-$\frac{1}{10}$）V_人+ρ_水gV=ρ_人gV_人+G_背漂，
整理可得：V_人=$\frac{{ρ}_{水}gV-{G}_{背漂}}{{ρ}_{人}g-\frac{9}{10}{ρ}_{水}g}$
=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/klg×4×1{0}^{-3}{m}^{3}-5N}{1.08×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg-\frac{9}{10}×1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$
=$\frac{175}{9}$×10^-3m³，
则儿童的最小质量：m_人=ρ_人V_人=1.08×10³kg/m³×$\frac{175}{9}$×10^-3m³=21kg．
故答案为：（1）60；（2）3；（3）21．

点评 本题考查学生对阿基米德原理、物体受力分析、二力平衡条件的应用以及压强公式的应用．关键是公式及其变形的灵活运用，还要注意单位的换算．