Question

10．归纳式探究一研究弹簧的刚性系数
我们知道．弹簧受到的拉力越大．弹簧伸长的长度就越大，但用同样大小的力去拉两只不同的弹簧．伸长的长度不同．这说明弹簧有“软“、“硬”之分．容易被拉伸的弹簧比较软．反之比较硬．弹簧的软硬用它的刚性系数來表示．刚性系数越大，弹簧越硬．
为了研究弹簧的刚性系数与哪些因素有关．通过有关实验探究．取得数据如表（其中．S为制造弹簧的金属丝的横载面积，n为弹簧的匝数，r为弹簧的半径，A为弹簧的刚性系数．

实验次数	材料	S/m2	n	r/m	A （N•m-1）
1	铜	3×10-6	100	1×10-2	90
2	钢	3×10-6	100	1×10-2	180
3	钢	6×10-6	100	1×10-2	360
4	钢	3×10-6	200	1×10-2	90
5	铜	6×10-6	100	2×10-2	45

（1）A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，其中k与制造弹簧的材料有关．材料不同，k值一般不同，上述实验中钢的k_钢=2×10⁹N/m²（填上数值和单位）．由数裾形式变为公式形式运用了物理学中的等价变换法．
（2）用粗细相同的铜丝做成半径相同但匝数不同的弹簧，則弹簧的刚性系数和匝数的关系可以用图象中的图线a表示．
（3）用橫截面积9×10^-6m²的钢丝制成一个60匝，刚性系数为100N/m的弹簧．則该弹簧的半径为3×10^-2m．

Answer 1

分析 （1）实验中主要有四个变量，分别为材料、横截面积、弹簧匝数和弹簧的半径，根据控制变量法的要求，分别比较第2、4行数据，3、5行数据，4、6行数据，可分析出横截面积、弹簧匝数和弹簧的半径与A的关系，最终归纳出表达式，再利用表达式可计算出钢的k值，这种方法叫做等价变换法；
（2）通过刚性系数的表达式，可以看出，在其他条件相同时，弹簧的匝数越多，其刚性系数越小，因此，b是符合题意的；
（3）利用归纳得出的公式，将数据代入进行计算可得出弹簧的半径．

解答 解：
（1）根据控制变量法的要求，比较第2、4行数据可得，横截面积S之比的平方，等于刚性系数A之比；比较第3、5行数据可得，弹簧的匝数n扩大一倍，刚性系数A减小一半；比较第4、6行数据可得，弹簧的半径r之比的立方，等于刚性系数A之比．综合以上分析可得，A=k•$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；
选择第2次实验数据代入公式A=k•$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$得：
180N/m=k•$\frac{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）^{2}}{100×（1×1{0}^{-2}{m}^{2}）^{3}}$，
解得k=2×10⁹N/m²；
将数据变在公式，这种方法叫做等价变换法．
（2）观察图象可知，a为成正比图象，b是A随弹簧匝数n的增加而减小，故图象b与研究的数据结果相符；
（3）由刚性系数的公式变形得，r=$\root{3}{\frac{K{S}^{2}}{An}}$，代入数据解得，r=$\root{3}{\frac{2×1{0}^{9}N/{m}^{2}}{100N/m×60}}$=3×10^-2m．
故答案为：（1）$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；2×10⁹N/m²；等价变换；（2）2×10⁹N/m²；（3）3×10^-2m．

点评 本实验中的变量比较多，在分析数据时，必须在保证其他变量不变的情况下，依次分析其中的一个变量与刚性系数之间的关系，最终综合成公式的形式，这种归纳研究的方法称为等价变换；有了刚性系数的公式，剩余的问题基本要从公式入手进行分析和计算．