Question

8．用同种铝合金制成质量相等的金属盒和金属球各一个，若把球放在盒内密封后，它们恰能悬浮在水中，如甲所示：若把球和盒用细绳相连，放进水里静止后，盒有$\frac{1}{6}$体积露出水面，此时细绳对球的拉力为20N，如图乙所示，则下列说法错误的是（　　）

• A． 盒内最多能装重50N的水
• B． 这种铝合金的密度为3.0×10³kg/m³
• C． 图乙中若剪断细绳，盒静止时有一半体积露出水面
• D． 图甲中球对盒的压力为20N

Answer 1

分析 （1）首先选图甲中盒与球整体 作为研究对象，两者之间相互作用力为内力，对于整体只受浮力和重力，甲乙两种情况，一次悬浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gV_排，即两次排开水的体积相同，据此可得V_球；
（2）由甲乙两种情况，根据阿基米德原理和浮沉条件即可求出铝合金的密度；
（3）对甲乙两图，分别对盒和球、金属球进行受力分析，根据受力平衡即可求出盒的体积，根据漂浮条件和阿基米德原理即可求出若剪断细绳盒静止时浸入水的体积，然后求出露出水面的体积，最后与总体积比较即可判断；
（4）根据V_空=V_盒-V_实求出盒的容积，利用G=ρgV即可求出盒内能装的水的重力．

解答 解：设金属盒的体积为V_盒，金属球的体积为V_球，二者的质量为：m（二者质量相等），
（1）甲乙两种情况，一次悬浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gV_排，即两次排开水的体积相同，可得：
V_盒=（1-$\frac{1}{6}$）V_盒+V_球，所以V_球=$\frac{1}{6}$V_盒；
而F_浮=G，即：ρ_水gV_排=2mg，
则ρ_水gV_盒=2ρ_铝gV_球，
所以有：ρ_铝=3ρ_水=3×10³kg/m³，故B正确；
（2）对甲乙两种情况，进行受力分析：
金属盒悬浮时有：2mg=ρ_水gV_排，（V_盒=V_排），
金属球悬在金属盒下面时：对金属盒进行受力分析有mg+20N=ρ_水g（1-$\frac{1}{6}$）V_盒；
对金属球进行受力分析有：mg=20N+ρ_水gV_球
解之：V_盒=6×10^-3m³，m=3kg，V_球=1×10^-3m³；
球对盒的压力F_压=G_球=mg=3kg×10N/kg=30N；故D错误；
（3）当绳子剪断后，金属盒处于漂浮，G=F_浮′，即：mg=ρ_水gV_排1
所以，V_排1=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{3kg}{1.0×{10}^{3}kg/{m}^{3}}$=3×10^-3m³；
所以，露出液面的体积：V_露=V_盒-V_排1=6×10^-3m³-3×10^-3m³=3×10^-3m³；
由于V_露=V_排1，所以盒静止时有一半体积露出水面，故C正确；
（4）又V_空=V_盒-V_实=V_盒-$\frac{m}{{ρ}_{铝}}$=6×10^-3m³-$\frac{3kg}{3.0×{10}^{3}kg/{m}^{3}}$=5×10^-3m³，
则盒内装水重为：G_水=ρ_水gV_水=1.0×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-3m³=50N，故A正确．
故选D．

点评 此题为一道难度较大的推理计算题，解决此类问题的方法为：①选定的研究对象并进行受力分析（最好画出受力分析图）．②设定未知量一般为选项或题目所求物理量．③把两个物体视作整体，即整体法 列一个方程．④再将两个物体分别作为研究对象，即隔离法 再列两个方程．