Question

3．如图所示，圆柱体甲高11cm，放在水平地面上，把质量为800g的乙放入容器M中，杠杆水平平衡，此时甲对地面的压强为3200Pa，把质量为900g的水注入容器M中，水未溢出，水静止后，水对容器M底面的压强为2500Pa，甲对地面的压强为5000Pa．已知：AO：OB=2：3，容器M的底面积为60cm²，不计杠杆的质量，g取10N/kg，求甲的密度．

Answer 1

分析 （1）设甲的密度为ρ_甲，底面积为S_甲，利用杠杆的平衡条件得出两个关于ρ_甲、S_甲的方程，然后利用数学知识将S_甲消除，即可解得甲的密度．
（2）关键点在于求解注水后乙物体对杠杆的力的大小：先利用液体压强的变形公式求出注水后水面的高度h₁，然后利用密度公式求出没有物体浸没在水中时水面的高度h₂，则乙物体排开水的体积为V_排=（h₁-h₂）×S_容器；然后将其代入浮力公式解得乙物体受到的浮力，再根据力的合成求出注水后乙物体对杠杆的力的大小．

解答 解：（1）由杠杆的平衡条件F₁L₁=F₂L₂得
 F_甲×AO=F_乙×OB
（m_甲g-F_压）×2=0.8Kg×10N/kg×3
（ρ_甲×S_甲×0.11m×10N/kg-3200Pa×S_甲）×2=0.8kg×10N/kg×3…①
（2）由液体压强公式p=gρh得，h₁=$\frac{p}{ρg}$=$\frac{2500Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.25m
由ρ=$\frac{m}{V}$，得h₂=$\frac{m}{ρ{S}_{容}}$=$\frac{0.9kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×0.006{m}^{2}}$=0.15m，
则乙物体排开水的体积为：V_排=（h₁-h₂）×S_容器=0.1m×0.006m²=0.0006m³
乙物体受到的浮力为F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×0.0006m³×10N/kg=6N
因为灌水后，乙物体受重力、拉力、浮力，
所以灌水后乙物体提供的阻力F₂=G-F_浮=8N-6N=2N
（3）注水后根据杠杆的平衡条件得
（ρ_甲×S_甲×0.11m×10N/kg-5000Pa×S_甲）×2=2N×3…②
由①②两式解得ρ_甲≈5.1×10³kg/m³．
答：甲的密度为5.1×10³kg/m³．

点评 本题涉及到的知识点较多，考查杠杆的平衡条件、浮力大小的计算、液体压强大小的计算的综合运用，属于难度较大的题目．解题时注意浮力公式和液体压强公式的灵活运用．