Question

6．在底面积为S₁的圆柱形水槽中放有部分水（密度为ρ_水），在水面上漂浮着一块横截面积为S₂、高为h₀的圆柱形物块，物块浸入水中的深度为h，如图（a）所示．

（1）请画出物块的受力分析图；
（2）若沿物块上下面中心的连线，将物块镂空贯通，镂空部分的横截面积为S₀，物块仍放入原水槽中，如图（b）所示，平衡后与图（a）比较，求水面下降的高度；
（3）若将镂空部分压在物块上，再放入原水槽中，如图（c）所示，平衡后与图（b）比较，求物体下端下降的高度．

Answer 1

分析 （1）圆柱形物块漂浮在水面上时，受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力是一对平衡力，二力大小相等，方向相反，都作用在圆柱体的重心上，据此作出受力分析图；
（2）根据物体漂浮可知，受到的浮力和自身的重力相等，根据阿基米德原理和密度公式以及体积公式得出图（a）和图（b）中浸入液体的深度相同，物体排开水体积的减小量等于镂空部分排开水的体积，然后根据体积公式求出水面下降的高度；
（3）将镂下的部分压在物块上，物体的重力不变，受到的浮力不变，排开水的体积不变，而此时浸入水部分圆柱体的底面积减小，根据体积公式求出此时物块浸入水的深度，进一步求出物块下端下降的高度．

解答 解：（1）圆柱形物块漂浮在水面上时，处于平衡状态，受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力是一对平衡力，
二力大小相等，方向相反，都作用在圆柱体的重心上，受力分析图如下图所示：

（2）因物体漂浮，
所以，F_浮=G，
因F_浮=ρ_液gV_排=ρ_液gS_物h_浸入，G_物=m_物g=ρ_物S_物h_物g，
所以，$\frac{{h}_{浸入}}{{h}_{物}}$=$\frac{{ρ}_{物}}{{ρ}_{液}}$，比值不变，故镂空前后，物块浸入水中的深度h不变，
镂空后，排开水的体积减少了S₀h，
所以，水面下降了h_下降=$\frac{{S}_{0}h}{{S}_{1}}$．
（3）将镂空部分压在物块上后，物体重量跟原来一样，故排开水的体积也跟a图一样为S₂h，
此时物块在水中的深度：
h₂=$\frac{{S}_{2}h}{{S}_{2}-{S}_{0}}$，
深度跟原来图b比较，物块下端下降了：
△h=h₂-h-h_下降=$\frac{{S}_{2}h}{{S}_{2}-{S}_{0}}$-h-$\frac{{S}_{0}h}{{S}_{1}}$=S₀h（$\frac{1}{{S}_{2}-{S}_{0}}$-$\frac{1}{{S}_{1}}$）．
答：（1）物块的受力分析图如上图所示；
（2）水面下降的高度为$\frac{{S}_{0}h}{{S}_{1}}$；
（3）物体下端下降的高度为S₀h（$\frac{1}{{S}_{2}-{S}_{0}}$-$\frac{1}{{S}_{1}}$）．

点评 本题考查了阿基米德原理和物体浮沉条件以及密度公式的应用，关键是得出图（a）和图（b）中浸入液体的深度不变，难点是（b）和图（c）中排开水体积变化的分析．