Question

10．甲、乙两车，从同一起点出发，沿平直公路行驶到相同终点．甲车在前二分之一时间里以速度V₁做匀速直线运动，后二分之一时间里以速度V₂做匀速直线运动；乙车在前二分之一路程中以速度V₁做匀速直线运动，后二分之一路程中以速度V₂做匀速直线运动，V₁≠V₂，则（　　）

• A． 甲车先到达
• B． 乙车先到达
• C． 甲、乙同时到达
• D． 不能确定

Answer 1

分析 将两地设为A、B；A、B两地间的距离看成1，再设甲从A地出发到达B地所用的时间为t₁，乙从A地出发到达B地所用的时间为t₂，分别列出t₁和t₂的表达式，最后作差比较它们的大小即得．

解答 解：将A、B两地间的距离看成1，设甲从A地出发到达B地所用的时间为t₁，乙从A地出发到达B地所用的时间为t₂，
因为甲车在前一半时间里以速度v₁做匀速直线运动，后一半时间里以速度v₂做匀速直线运动；
所以$\frac{1}{2}$t₁v₁+$\frac{1}{2}$t₁v₂=1
则甲从A地出发到达B地所用的时间t₁=$\frac{2}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，
因为乙车在前一半路程中以速度v₁做匀速直线运动，后一半路程中以速度v₂做匀速直线运动；
所以乙从A地出发到达B地所用的时间t₂=$\frac{\frac{1}{2}}{{v}_{1}}$+$\frac{\frac{1}{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2{v}_{1}{v}_{2}}$，
则 t₁-t₂=$\frac{2}{{v}_{1}+{v}_{2}}$-$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2{v}_{1}{v}_{2}}$=$\frac{4{v}_{1}{v}_{2}-（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{2{v}_{1}{v}_{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）}$=-$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2{v}_{1}{v}_{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）}$＜0，
即t₁＜t₂
所以甲车先到达．
故选A．

点评 本小题主要考查速度公式的应用和函数模型的选择与应用、比较法等基础知识，考查数学建模能力，有一定难度．