Question

1．在如图所示的电路中，电源两端电压不变，闭合开关S，滑动变阻器滑片移至点M时，变阻器接入电路的电阻为R_M，此时通过电流表的电流为I₁，电阻R₂消耗的电功率P₂=8W，电压表V₁、V₂的示数分别为U₁和U₂；滑动变阻器滑片移至点N时，此时通过电流表的电流为I₂，变阻器接入电路的电阻为R_N，电阻R₂消耗的电功率为P₂′=2W，电压表V₁的示数为U₁′，已知：U₁：U₂=2：5，U₁：U₁′=1：2，求：
（1）I₁与I₂之比；
（2）滑动变阻器接入电路的电阻R_M与R_N之比；
（3）滑片左右移动的过程中，电路消耗的最大功率P_max．

Answer 1

分析 （1）先画出滑片位于M点和N点的等效电路图，根据P=I²R表示出两图中R₂消耗的电功率即可求出两图的电流之比；
（2）根据串联电路的特点和欧姆定律表示出电源的电压，利用电源的电压不变得出等式求出电阻之间的关系，再根据欧姆定律分别表示出电压表V₁、V₂的示数关系再得出电阻之间的关系，联立等式即可求出R_M、R₂、R_N与R₁之间的关系，进一步求出R_M与R_N之比；
（3）滑片左右移动的过程中，当滑动变阻器的滑片移到左端时，接入电路中的电阻为0Ω，电路中的电阻最小，电路中的电功率最大，根据串联电路的特点和欧姆定律结合电阻关系求出图甲与图丙的电流关系，根据P=I²R表示出甲图中R₂的电功率和丙图总功率P_max的比值即可求出，电路消耗的最大电功率P_max．

解答 解：当滑动变阻器滑片移至点M时，等效电路图如图甲所示；
当滑动变阻器滑片移至点N时，等效电路图如图乙所示；

（1）因P=I²R，且P₂=8W，P₂′=2W，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\sqrt{\frac{\frac{{P}_{2}}{{R}_{2}}}{\frac{{P}_{2}′}{{R}_{2}}}}$=$\sqrt{\frac{{P}_{2}}{{P}_{2}′}}$=$\sqrt{\frac{8W}{2W}}$=$\frac{2}{1}$；
（2）电源的电压不变，则电流与总电阻成反比，
所以对甲乙两图有：$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{N}+{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{M}+{R}_{2}}$=$\frac{2}{1}$，
即：R₁+R₂+2R_M=R_N--------①
因U₁：U₂=2：5，U₁：U₁′=1：2，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{I}_{1}（{R}_{1}+{R}_{M}）}{{I}_{1}（{R}_{M}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{M}}{{R}_{M}+{R}_{2}}$=$\frac{2}{5}$，
即5R₁+3R_M=2R₂----------②
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{1}′}$=$\frac{{I}_{1}（{R}_{1}+{R}_{M}）}{{I}_{2}（{R}_{1}+{R}_{N}）}$=$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$×$\frac{{R}_{1}+{R}_{M}}{{R}_{1}+{R}_{N}}$=$\frac{2}{1}$×$\frac{{R}_{1}+{R}_{M}}{{R}_{1}+{R}_{N}}$=$\frac{1}{2}$，
即3R₁+4R_M=R_N-----------③
由①②③式可得：R_M=R₁，R₂=4R₁，R_N=7R₁，
所以，$\frac{{R}_{M}}{{R}_{N}}$=$\frac{{R}_{1}}{7{R}_{1}}$=$\frac{1}{7}$；
（3）当滑动变阻器的滑片移到左端时，接入电路中的电阻为0Ω，电路中的电阻最小，电路中的电功率最大，如丙图所示，
因电源的电压不变，
所以，图甲和图丙中的电流之比：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{3}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{M}+{R}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}+{4R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{1}+{4R}_{1}}$=$\frac{5}{6}$，
甲图中R₂的电功率和丙图总功率P_max的比值：
$\frac{{P}_{2}}{{P}_{max}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{3}}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）}$=（$\frac{{I}_{1}}{{I}_{3}}$）²×$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=（$\frac{5}{6}$）²×$\frac{{4R}_{1}}{{R}_{1}+4{R}_{1}}$=$\frac{5}{9}$，
则P_max=$\frac{9}{5}$P₂=$\frac{9}{5}$×8W=14.4W．
答：（1）I₁与I₂之比为2：1；
（2）滑动变阻器接入电路的电阻R_M与R_N之比为1：7；
（3）滑片左右移动的过程中，电路消耗的最大电功率为14.4W．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律、电功率公式的应用，关键是画出三种情况下的等效电路图；解决此类问题时要注意根据欧姆定律表示出电表示数之间的关系，灵活选取电功率公式表示出消耗的电功率，同时注意利用好电源的电压不变得出等式，一般即可解决问题．