Question

14．如图是水位装置的示意图．该装置主要由滑轮C、D，物体A、B以及轻质杠杆MN组成．物体A通过细绳与滑轮C相连，物体B通过细绳与杠杆相连．杠杆可以绕支点O在竖直平面内转动，杠杆始终在水平位置平衡，且MO：MN=1：3．物体B受到的重力为100N，A的底面积为0.04m²，高1m．当物体A恰好浸没在水中时，物体B对电子秤的压力为F₁；若水位下降至物体A恰好完全露出水面时，物体B对电子秤的压力为F₂，已知：F₁﹕F₂=6﹕1．滑轮重、滑轮与转轴的摩擦、杠杆与轴的摩擦均忽略不计．求：
（1）物体A完全浸没时，A受到的浮力F_浮．
（2）物体A的密度ρ_A．
（3）当物体A有部分浸入水中时，如果把细绳由N端向左移动到N′处，电子秤的示数恰好为零，NN′：MN=1﹕6，此时物体A浸在水中的体积V_浸．

Answer 1

分析 （1）利用V=Sh先求出物块A的体积，物块A浸没水中，排开水的体积等于A的体积，利用阿基米德原理求物块A所受的浮力；
物块A所受的拉力；
（2）当物体A恰好浸没在水中时，求出杠杆N端受到的拉力、杠杆M端受到的拉力，求出力臂大小关系；利用杠杆平衡条件求物体B对电子秤的压力F₁；同理求出物体B对电子秤的压力F₂，根据“F₁﹕F₂=6﹕1”求出A的重力，再利用G=mg=ρVg求A的密度；
（3）如果把细绳由N端向左移动到N′处，求出力臂关系，当物体A有部分浸入水中时，电子秤的示数恰好为零，求出杠杆N′端、M端受到的拉力，利用杠杆平衡条件求物体A受到的浮力，再利用F_浮=ρ_水V_排g求物体浸入水中的体积．

解答 解：（1）物块A的体积：V_A=0.04m²×1m=0.04m³，
物块A浸没水中，排开水的体积：V_排=V_A=0.04m³，
物块A所受的浮力：F_浮=ρ_水V_排g=1×10³kg/m³×0.04m³×10N/kg=400N；
（2）当物体A恰好浸没在水中时，设此时N端受到的拉力为F_N1，物体B对电子秤的压力F₁=G_B-F_N1，
则杠杆N端受到的拉力：F_N1=G_B-F₁，
因左端动滑轮上承重的绳子段数n=4，则杠杆M端受到的拉力：
F_M1=$\frac{1}{4}$（G_A-F_浮）；
已知MO：MN=1：3，所以MO：ON=1：2，
因为杠杆平衡，所以F_M1L_OM=F_N1L_ON，
则：$\frac{1}{4}$（G_A-F_浮）×1=（G_B-F₁）×2，
化简并代入数据可得：G_A-400N=800N-8F₁，
所以F₁=$\frac{1}{8}$（1200N-G_A）---------①
当物体A恰好完全露出水面时，物体B对电子秤的压力F₂=G_B-F_N2，
则杠杆N端受到的拉力：F_N2=G_B-F₂，
杠杆M端受到的拉力：F_M2=$\frac{1}{4}$G_A；
因为杠杆平衡，所以F_M2L_OM=F_N2L_ON，
则：$\frac{1}{4}$G_A×1=（G_B-F₂）×2，
化简并代入数据可得：G_A=800N-8F₂，
所以F₂=$\frac{1}{8}$（800N-G_A）----------②
由题知F₁﹕F₂=6﹕1，
则$\frac{1}{8}$（1200N-G_A）：$\frac{1}{8}$（800N-G_A）=6：1，
解得：G_A=720N，
由G=mg=ρVg可得物体的密度：
ρ_A=$\frac{{G}_{A}}{{V}_{A}g}$=$\frac{720N}{0.04{m}^{3}×10N/kg}$=1.8×10³kg/m³；
（3）如果把细绳由N端向左移动到N′处，如图：

因为NN′：MN=1﹕6，MO：MN=1：3=2：6．
设MN=6L，则MO=2L，NN′=1L，
结合图示可得ON′=MN-MO-NN′=6L-2L-L=3L，
所以MO：ON′=2L：3L=2：3；
当物体A有部分浸入水中时，电子秤的示数恰好为零，杠杆N′端受到的拉力：F_N3=G_B，
此时杠杆M端受到的拉力：
F_M3=$\frac{1}{4}$（G_A-F_浮′）；
因为杠杆平衡，所以F_M3L_OM=F_N3L_ON′
则：$\frac{1}{4}$（G_A-F_浮′）×2=G_B×3，
即$\frac{1}{4}$（720N-F_浮′）×2=100N×3，
解得：F_浮′=120N，
由F_浮=ρ_水V_排g得物体浸入水中的体积：
V_浸=V_排=$\frac{{F}_{浮}′}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{120N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.012m³．
答：（1）物体A完全浸没时，A受到的浮力为400N；
（2）物体A的密度为1.8×10³kg/m³；
（3）当物体A有部分浸入水中时，如果把细绳由N端向左移动到N′处，电子秤的示数恰好为零，NN′：MN=1﹕6，此时物体A浸在水中的体积为0.012m³．

点评 本题综合考查了重力公式、密度公式、阿基米德原理、杠杆平衡条件的应用，准确得出几种情况下动力臂和阻力臂的大小关系是关键．