如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图,根据图中所标尺寸(单位:mm),求这个立体图形的表面积.

【答案】200mm2.

【解析】试题分析:根据三视图可知立体图形下面的长方体的长、宽、高分别为8mm,6mm,2mm,上面的长方体的长、宽、高分别为4mm,2mm,4mm.由此计算这个立体图形的表面积即可.

试题解析:

根据三视图可知立体图形下面的长方体的长、宽、高分别为8mm,6mm,2mm,上面的长方体的长、宽、高分别为4mm,2mm,4mm.

则这个立体图形的表面积为:2(8×6+6×2+8×2)+2(4×2+2×4+4×4)-2×4×2=200(mm2).

答:这个立体图形的表面积为200mm2.

【题型】解答题
【结束】
7

如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.

(1)求新传送带AC的长度;

(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点4米的货物是否需要挪走,并说明理由.

(1)5.6m;(2)应挪走. 【解析】试题解析:试题分析:(1)在构建的直角三角形中,首先求出两个直角三角形的公共直角边,进而在Rt△ACD中,求出AC的长. (2)通过解直角三角形,可求出BD、CD的长,进而可求出BC、PC的长.然后判断PC的值是否大于2米即可. 试题解析:(1)如图, 在Rt△ABD中,AD=ABsin45°=4. 在Rt△ACD中, ∵∠ACD=30...

如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.

(1)求新传送带AC的长度;

(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点4米的货物是否需要挪走,并说明理由.

【答案】(1)5.6m;(2)应挪走.

【解析】试题解析:试题分析:(1)在构建的直角三角形中,首先求出两个直角三角形的公共直角边,进而在Rt△ACD中,求出AC的长.
(2)通过解直角三角形,可求出BD、CD的长,进而可求出BC、PC的长.然后判断PC的值是否大于2米即可.

试题解析:(1)如图,
在Rt△ABD中,AD=ABsin45°=4. 
在Rt△ACD中,
∵∠ACD=30°,
∴AC=2AD=8. 
即新传送带AC的长度约为8米;
(2)结论:货物MNQP不用挪走. 
【解析】
在Rt△ABD中,BD=ABcos45°=4=4. 
在Rt△ACD中,CD=AD=4
∴CB=CD-BD=4-4≈2.8.
∵PC=PB-CB≈5-2.8=2.2>2,
∴货物MNQP不应挪走.

【题型】解答题
【结束】
8

如图有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为6m的正三形ABC。

(1)求该圆锥形粮堆的侧面积。

(2)母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠,求小猫经过的最短路程。 (结果不取近似数) 

(1) 18m2;(2)3m. 【解析】试题分析:(1)根据圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的侧面积公式是π×底面圆半径×圆锥的母线长;扇形的面积公式是,进行计算即可; (2)根据两点之间,线段最短.首先要展开圆锥的半个侧面,再连接BP.发现BP是直角边是3和6的直角三角形的斜边.根据勾股定理即可计算. 试题解析:(1)根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得: πrl=π×3×6=18π...

如图有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为6m的正三形ABC。

(1)求该圆锥形粮堆的侧面积。

(2)母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠,求小猫经过的最短路程。 (结果不取近似数) 

【答案】(1) 18m2;(2)3m.

【解析】试题分析:(1)根据圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的侧面积公式是π×底面圆半径×圆锥的母线长;扇形的面积公式是,进行计算即可;
(2)根据两点之间,线段最短.首先要展开圆锥的半个侧面,再连接BP.发现BP是直角边是3和6的直角三角形的斜边.根据勾股定理即可计算.

试题解析:(1)根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得:
πrl=π×3×6=18π.
(2)圆锥的底面周长是6π,则6π=
∴n=180°,即圆锥侧面展开图的圆心角是180度.
则在圆锥侧面展开图中AP=3,AB=6,∠BAP=90度.
∴在圆锥侧面展开图中BP=m.
故小猫经过的最短距离是m.

【题型】解答题
【结束】
9

(1)如图1,在一块宽为12m,长为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为180m2,求道路的宽;

(2)现在对该矩形区域进行改造,如图2,在正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭,观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路,已知道路的宽为正方形边长的.若道路与观赏亭的面积之和是矩形面积的,求道路的宽.

(1)道路宽为2米;(2)道路的宽为1米. 【解析】试题分析:(1)设道路宽为x米,利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(20﹣x)(12﹣x)米2,进而即可列出方程,求出答案; (2)设道路的宽为x米,则正方形边长为4x,根据道路与观赏亭的面积之和是矩形面积的,列方程求解即可. 试题解析:【解析】 (1)设道路宽为x米, 根据题意得:(...

(1)如图1,在一块宽为12m,长为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为180m2,求道路的宽;

(2)现在对该矩形区域进行改造,如图2,在正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭,观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路,已知道路的宽为正方形边长的.若道路与观赏亭的面积之和是矩形面积的,求道路的宽.

【答案】(1)道路宽为2米;(2)道路的宽为1米.

【解析】试题分析:(1)设道路宽为x米,利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(20﹣x)(12﹣x)米2,进而即可列出方程,求出答案;

(2)设道路的宽为x米,则正方形边长为4x,根据道路与观赏亭的面积之和是矩形面积的,列方程求解即可.

试题解析:【解析】
(1)设道路宽为x米,

根据题意得:(20﹣x)(12﹣x)=180

解得:x1=30(舍去),x2=2

答:道路宽为2米;

(2)设道路的宽为x米,

则可列方程:x(12-4x)+x(20-4x)+16x2=×20×12,

即:x2+4x-5=0,

解得:x1=1,x2=-5(舍去),

答:道路的宽为1米.

点睛:考查了一元二次方程的应用,这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.另外还要注意解的合理性,从而确定取舍.

【题型】解答题
【结束】
10

如图1是一个三棱柱包装盒,它的底面是边长为10cm的正三角形,三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD(如图2),然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴(要求包贴时没有重叠部分),纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.在图3中,将三棱柱沿过点A的侧棱剪开,得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.

(1)请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形;

(2)请在图2中,计算裁剪的角度(即∠ABM的度数).

(1)作图见解析;(2)∠ABM=30°. 【解析】分析:(1)将图4中的△ABE向左平移30cm,△CDF向右平移30cm,拼成如图中的平行四边形,此平行四边形即为图2中的四边形ABCD. (2)根据题意先求得AB=30cm,由纸带的宽为15cm,根据三角函数求得∠AMB=30°. 本题解析:(1)如图: (2)由图2的包贴方法知:AB的长等于三棱柱的底边周长,∴AB=3...

如图1是一个三棱柱包装盒,它的底面是边长为10cm的正三角形,三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD(如图2),然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴(要求包贴时没有重叠部分),纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.在图3中,将三棱柱沿过点A的侧棱剪开,得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.

(1)请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形;

(2)请在图2中,计算裁剪的角度(即∠ABM的度数).

【答案】(1)作图见解析;(2)∠ABM=30°.

【解析】分析:(1)将图4中的△ABE向左平移30cm,△CDF向右平移30cm,拼成如图中的平行四边形,此平行四边形即为图2中的四边形ABCD.

(2)根据题意先求得AB=30cm,由纸带的宽为15cm,根据三角函数求得∠AMB=30°.

本题解析:(1)如图:

(2)由图2的包贴方法知:AB的长等于三棱柱的底边周长,∴AB=30.

∵ 纸带宽为15,∴ sin∠ABM =.∴∠AMB=30°.

【题型】解答题
【结束】
11

如图,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.

(1)求证:

(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;

(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.

(1)证明见解析;(2)当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20;(3) 【解析】试题分析:(1)本题利用相似三角形的性质——相似三角形的对应边上的高之比等于相似比解决;(2)根据第一问的结论,即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式,根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值;(3)此题要理清几个关键点,当矩形的面积最大时,由(2)可知此时EF=5,...

如图,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.

(1)求证:

(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;

(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.

【答案】(1)证明见解析;(2)当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20;(3)

【解析】试题分析:(1)本题利用相似三角形的性质——相似三角形的对应边上的高之比等于相似比解决;(2)根据第一问的结论,即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式,根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值;(3)此题要理清几个关键点,当矩形的面积最大时,由(2)可知此时EF=5,EQ=4;易证得△CPF是等腰Rt△,则PC=PF=4,QC=QP+PC=9;
一、P、C重合时,矩形移动的距离为PC(即4),运动的时间为4s;
二、E在线段AC上时,矩形移动的距离为9-4=5,运动的时间为5s;
三、Q、C重合时,矩形运动的距离为QC(即9),运动的时间为9s;
所以本题要分三种情况,分别写出解析式即可.

试题解析:

(1)∵ 四边形EFPQ是矩形,∴ EF∥QP.∴ △AEF∽△ABC.

又∵ AD⊥BC,

∴ AH⊥EF,∴

(2)由(1)得,∴ AH=x.

∴ EQ=HD=AD-AH=8-x,

∴ S矩形EFPQ=EF·EQ=x (8-x) =-x2+8 x=-(x-5)2+20.

∵ -<0, ∴ 当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.

(3)如图1,由(2)

得EF=5,EQ=4.

∵∠C=45°,∴ △FPC是等腰直角三角形.

∴ PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9.

分三种情况讨论:① 如图2.当0≤t<4时,

设EF、PF分别交AC于点M、N,则△MFN是等腰直角三角形,

∴ FN=MF=t.

∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20;

②如图3,当4≤t<5时,则ME=5-t,QC=9-t.

∴ S=S梯形EMCQ= [(5-t)+(9-t )]×4=-4t+28;

③如图4,当5≤t≤9时,设EQ交AC于点K,则KQ=QC=9-t.

∴ S=S△KQC= (9-t)2= ( t-9)2.

综上所述:S与t的函数关系式为:

点睛:此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识,同时还考查了分类讨论的数学思想.

【题型】解答题
【结束】
12

已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.

(1)求实数k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使得x1·x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.

(1)当k≤时,原方程有两个实数根(2)不存在实数k,使得x1·x2-x12-x22≥0成立 【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程根的判别式列出不等式,解之即可;(2)本题利用韦达定理解决. 试题解析: (1) ,解得 (2)由 , 由根与系数的关系可得: 代入得: , 化简得: , 得. 由于的取值范围为, 故不存在k使。 ...

已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.

(1)求实数k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使得x1·x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)当k≤时,原方程有两个实数根(2)不存在实数k,使得x1·x2-x12-x22≥0成立

【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程根的判别式列出不等式,解之即可;(2)本题利用韦达定理解决.

试题解析:

(1) ,解得

(2)由

由根与系数的关系可得:

代入得:

化简得:

.

由于的取值范围为

故不存在k使

【题型】解答题
【结束】
13

如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD为菱形,且(0,3)、(﹣4,0).

(1)求经过点的反比例函数的解析式;

(2)设是(1)中所求函数图象上一点,以顶点的三角形的面积与△COD的面积相等.求点P的坐标.

(1);(2)P(, )或(-,-). 【解析】试题分析:综合考查反比例函数及菱形的性质,注意:根据菱形的性质得到点C的坐标;点P的横坐标的有两种情况. (1)根据菱形的性质可得菱形的边长,进而可得点C的坐标,代入反比例函数解析式可得所求的解析式; (2)设出点P的坐标,易得△COD的面积,利用点P的横坐标表示出△PAO的面积,那么可得点P的横坐标,就求得了点P的坐标. 试题解析...

如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD为菱形,且(0,3)、(﹣4,0).

(1)求经过点的反比例函数的解析式;

(2)设是(1)中所求函数图象上一点,以顶点的三角形的面积与△COD的面积相等.求点P的坐标.

【答案】(1);(2)P()或(-,-).

【解析】试题分析:综合考查反比例函数及菱形的性质,注意:根据菱形的性质得到点C的坐标;点P的横坐标的有两种情况.

(1)根据菱形的性质可得菱形的边长,进而可得点C的坐标,代入反比例函数解析式可得所求的解析式; (2)设出点P的坐标,易得△COD的面积,利用点P的横坐标表示出△PAO的面积,那么可得点P的横坐标,就求得了点P的坐标.

试题解析:(1)由题意知,OA=3,OB=4,

在Rt△AOB中,AB==5,

∵四边形ABCD为菱形,

∴AD=BC=AB=5,

∴C(-4,-5).

设经过点C的反比例函数的解析式为y=(k≠0),

=-5,解得k=20.

故所求的反比例函数的解析式为y=

(2)设P(x,y),

∵AD=AB=5,OA=3,

∴OD=2,S△COD=×2×4=4,

•OA•|x|=4,

∴|x|=

∴x=±,、

当x=时,y==,当x=-时,y==-

∴P()或(?,?).

考点:反比例函数综合题.

【题型】解答题
【结束】
14

如图,在中, ,点两边的距离相等,且

(1)先用尺规作出符合要求的点(保留作图痕迹,不需要写作法),然后判断△ABP的形状,并说明理由;

(2)设,试用的代数式表示的周长和面积;

(3)设交于点,试探索当边的长度变化时,的值是否发生变化,若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由.

(1)作图见解析;ΔABP是等腰直角三角形. 理由见解析;(2); (3). 【解析】(1)依题意,点P既在的平分线上, 又在线段AB的垂直平分线上. 如图1,作的平分线, 作线段的垂直平分线, 与的 交点即为所求的P点。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 是等腰直角三角形. 理由:过点P分别作、,垂足为E、F如图2. ∵平分,、,垂足为E、F, ...

如图,在中, ,点两边的距离相等,且

(1)先用尺规作出符合要求的点(保留作图痕迹,不需要写作法),然后判断△ABP的形状,并说明理由;

(2)设,试用的代数式表示的周长和面积;

(3)设交于点,试探索当边的长度变化时,的值是否发生变化,若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由.

【答案】(1)作图见解析;ΔABP是等腰直角三角形. 理由见解析;(2) (3).

【解析】(1)依题意,点P既在的平分线上,

又在线段AB的垂直平分线上.

如图1,作的平分线

作线段的垂直平分线

交点即为所求的P点。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

是等腰直角三角形.

理由:过点P分别作,垂足为E、F如图2.

平分,垂足为E、F,

.

又∵ ,∴ .┄┄┄┄┄┄┄┄4分

.

, 从而.

是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄5分

(2)如图2,在中,

. ∴.

可得.

.

中,

. ∴. ┄┄┄┄6分

所以的周长为:. ┄┄┄┄7分

因为的面积=的面积的面积的面积

==

=)┄┄9分

.

(3)过点分别作,垂足为如图3.

.┄┄┄┄10分

①┄┄┄┄┄┄┄┄11分

② ┄┄┄┄┄┄12分

①+②,得 ,即 .

, 即 ┄┄┄┄13分

【点睛】(1)由题意作出∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线可求出点P,然后证明Rt△APE≌Rt△BPF即可;

(2)由PA=PB,PA=m,可得出 ,由Rt△APE≌Rt△BPF,△PCE≌△PCF,可得CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE,在Rt△PCE中, PC=n,可知 ,即 ,最后求出周长和面积;

(3)由平行线分线段成比例定理得到 , 是解答本题的关键.

【题型】解答题
【结束】
15

⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作⊙O的直径PG,与弦BC相交于点D,连接AG、CP、PB.

(1)如图1,求证:AG=CP;

(2)如图2,过点P作AB的垂线,垂足为点H,连接DH,求证:DH∥AG;

(3)如图3,连接PA,延长HD分别与PA、PC相交于点K、F,已知FK=2,△ODH的面积为2,求AC的长.

(1)证明见解析; (2)证明见解析; (3)AC=10 【解析】 试题分析:(1)利用等弧所对的圆周角相等即可求解; (2)利用等弧所对的圆周角相等,得到角相等∠APG=∠CAP,判断出△BOD≌△POH,再得到角相等,从而判断出线平行; (3)由三角形相似,得出比例式,△HON∽△CAM,,再判断出四边形CDHM是平行四边形,最后经过计算即可求解. 试...

⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作⊙O的直径PG,与弦BC相交于点D,连接AG、CP、PB.

(1)如图1,求证:AG=CP;

(2)如图2,过点P作AB的垂线,垂足为点H,连接DH,求证:DH∥AG;

(3)如图3,连接PA,延长HD分别与PA、PC相交于点K、F,已知FK=2,△ODH的面积为2,求AC的长.

【答案】(1)证明见解析;

(2)证明见解析;

(3)AC=10

【解析】

试题分析:(1)利用等弧所对的圆周角相等即可求解;

(2)利用等弧所对的圆周角相等,得到角相等∠APG=∠CAP,判断出△BOD≌△POH,再得到角相等,从而判断出线平行;

(3)由三角形相似,得出比例式,△HON∽△CAM,,再判断出四边形CDHM是平行四边形,最后经过计算即可求解.

试题解析:(1)∵过的中点P作⊙O的直径PG,

∴CP=PB,

∵AB,PG是相交的直径,

∴AG=PB,

∴AG=CP;

(2)证明:如图 2,连接BG

∵AB、PG都是⊙O的直径,

∴四边形AGBP是矩形,

∴AG∥PB,AG=PB,

∵P是弧BC的中点,

∴PC=BC=AG,

∴弧AG=弧CP,

∴∠APG=∠CAP,

∴AC∥PG,

∴PG⊥BC,

∵PH⊥AB,

∴∠BOD=90°=∠POH,

在△BOD和△POH中,

∴△BOD≌△POH,

∴OD=OH,

∴∠ODH=(180°﹣∠BOP)=∠OPB,

∴DH∥PB∥AG.

(3)如图3,作CM⊥AP于M,ON⊥DH于N,

∴∠HON=∠BOP=∠COP=∠CAP,

∴△HON∽△CAM,

作PQ⊥AC于Q,

∴四边形CDPQ是矩形,

△APH与△APQ关于AP对称,

∴HQ⊥AP,

由(1)有:HK⊥AP,

∴点K在HQ上,

∴CK=PK,

∴PK是△CMP的中位线,

∴CM=2FK=4,MF=PF,

∵CM⊥AP,HK⊥AP,

∴CM∥HK,

∴∠BCM+∠CDH=180°,

∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK,

∴∠MHK+∠CDH=180°,

∴四边形CDHM是平行四边形,

∴DH=CM=4,DN=HN=2,

∵S△ODH=DH×ON=×4×ON=2

∴ON=

∴OH==5,

∴AC==10.

考点:圆的综合题.

【题型】解答题
【结束】
16

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线C1:y=的顶点为M,与y轴相交于点N,先将抛物线C1沿x轴翻折,再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2:直线l:y=kx+b经过M,N两点.

(1)结合图象,直接写出不等式x2+6x+2<kx+b的解集;

(2)若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称,求p的值及抛物线C2的解析式;

(3)若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后,与(2)中的抛物线C2存在公共点,

求3﹣4q的最大值.

(1)﹣2<x<0(2)y=﹣x2+6x﹣2(3)当q=时,3﹣4q取最大值,最大值为﹣7 【解析】试题分析:(1)、首先根据二次函数的解析式分别求出点M和点N的坐标,然后根据图像得出不等式的取值范围;(2)、根据翻折得出抛物线的顶点坐标和开口方向以及大小,从而得出抛物线的函数解析式;(3)、首先将点M和点N的坐标代入一次函数解析式得出一次函数的解析式,然后设平移后的解析式为y=3x+2-q...
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