3.如图1,四边形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a≠b),点E、F分别是AD、BC上的点,且EF∥AB,设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2
[初步尝试]
小亮同学在对这一图形进行研究时,发现如下事实:
(1)当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{1}$时,有EF=$\frac{a+b}{2}$;
(2)当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{2}$时,有EF=$\frac{a+2b}{3}$.
该同学思考研究(2)的过程如下:
作DG∥BC,交AB于G,作DM⊥AB于点M,交EF于点N.
显然HF=CD=b,AG=AB-CD=a-b.
易证,△DEH∽△DAG,可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$,
即,$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$
而由$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{2}$,得$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$,
代入上式,则$\frac{1}{3}$=$\frac{EH}{a-b}$.
解得EH=$\frac{1}{3}$(a-b)
∴EF=EH+HF=b+$\frac{1}{3}$(a-b)=$\frac{a+2b}{3}$
[类比发现]
沿用上述图形和已知条件,请自主完成进一步的研究发现:
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{2}{1}$时,EF=$\frac{2a+b}{3}$;
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{3}{1}$时,EF=$\frac{3a+b}{4}$;
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{n}$时,EF=$\frac{a+nb}{n+1}$;
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{1}$时,EF=$\frac{ma+b}{m+1}$.(其中m、n均为正整数,下同)
[推广证明]
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{n}$时,EF=$\frac{ma+nb}{m+n}$;
请证明你的结论.
[实际应用]
请结合所给情景,创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题.
[情景]
如图2,有一块四边形耕地ABCD,AD∥BC,AD=100米,BC=300米,AB=500米,在AB上取点E,使AE=200米,以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF,与CD边相交于点F.
[问题]
水渠EF的长为多少米?(提问即可,不必求解)
 0  306155  306163  306169  306173  306179  306181  306185  306191  306193  306199  306205  306209  306211  306215  306221  306223  306229  306233  306235  306239  306241  306245  306247  306249  306250  306251  306253  306254  306255  306257  306259  306263  306265  306269  306271  306275  306281  306283  306289  306293  306295  306299  306305  306311  306313  306319  306323  306325  306331  306335  306341  306349  366461 

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