4．如图.正方形ABCD绕点A逆时针转n°后得到正方形AEFG.边EF与CD交于点O．若正方形边长为2cm.若旋转的角度为30°.求重叠部分四边形的面积．——青夏教育精英家教网——

如图，正方形ABCD绕点A逆时针转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．若正方形边长为2cm，若旋转的角度为30°，求重叠部分四边形（AEOD）的面积．

如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b（a≠b），点E、F分别是AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d₁、d₂．
[初步尝试]
小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：
（1）当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{1}$时，有EF=$\frac{a+b}{2}$；
（2）当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{2}$时，有EF=$\frac{a+2b}{3}$．
该同学思考研究（2）的过程如下：
作DG∥BC，交AB于G，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．
显然HF=CD=b，AG=AB-CD=a-b．
易证，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，
即，$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$
而由$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，得$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
代入上式，则$\frac{1}{3}$=$\frac{EH}{a-b}$．
解得EH=$\frac{1}{3}$（a-b）
∴EF=EH+HF=b+$\frac{1}{3}$（a-b）=$\frac{a+2b}{3}$
[类比发现]
沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现：
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{2}{1}$时，EF=$\frac{2a+b}{3}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{3}{1}$时，EF=$\frac{3a+b}{4}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{n}$时，EF=$\frac{a+nb}{n+1}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{1}$时，EF=$\frac{ma+b}{m+1}$．（其中m、n均为正整数，下同）
[推广证明]
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{n}$时，EF=$\frac{ma+nb}{m+n}$；
请证明你的结论．
[实际应用]
请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题．
[情景]
如图2，有一块四边形耕地ABCD，AD∥BC，AD=100米，BC=300米，AB=500米，在AB上取点E，使AE=200米，以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF，与CD边相交于点F．
[问题]
水渠EF的长为多少米？（提问即可，不必求解）

2．2013年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬．8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中：
1～7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；
7～12月份，月平均价袼y元/千克与月份x呈二次函数关系．
已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．
（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；
（2）2013年的12个月中这种农产品的月平均价格最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？

如图，将含30°的直角三角尺放在如图所示的直角坐标系中，点A（0，4），点B在原点，∠C=90°，∠ABC=30°，D点与A点关于原点对称，A点向D点运动，到达D点后停止．B点在x轴上运动．当A到达D时，点C走过的路径长为4$\sqrt{3}$．

18．选择合适的方法解方程：
2m-m²+1=2（m²-2m）²．

17．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{5}{6}}\\{y+z=\frac{7}{12}}\\{z+x=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$．

16．已知A=2x²-3x+1，B=3x²+2x-4，求3A-2B．

15．一只球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5，写出滚动的距离S与滚动时间t之间的函数关系式S=$\frac{3}{4}{t}^{2}$（t≥0）．

如图，?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，∠EAF=45°，则∠BAD=135°．

13．若关于x的方程x²+（a-1）x-a²=0的两根互为相反数，则a=1．

0 306155 306163 306169 306173 306179 306181 306185 306191 306193 306199 306205 306209 306211 306215 306221 306223 306229 306233 306235 306239 306241 306245 306247 306249 306250 306251 306253 306254 306255 306257 306259 306263 306265 306269 306271 306275 306281 306283 306289 306293 306295 306299 306305 306311 306313 306319 306323 306325 306331 306335 306341 306349 366461