Question

1．用换元法解方程：$\sqrt{1+\frac{9}{x}}$-2$\sqrt{\frac{x}{9+x}}$=1．

Answer 1

分析 由于1+$\frac{9}{x}$=$\frac{x+9}{x}$与$\frac{x}{9+x}$互为倒数，所以可设y=$\sqrt{1+\frac{9}{x}}$，用换元法求解．

解答 解：设y=$\sqrt{1+\frac{9}{x}}$，原方程就化为y-$\frac{2}{y}$=1，
两边同乘y，得y²-y-2=0，
（y-2）（y+1）=0，
解得y=2或y=-1，
经检验y=2或y=-1都是原方程的解．
当$\sqrt{1+\frac{9}{x}}$=2时，解得x=3，
当$\sqrt{1+\frac{9}{x}}$=-1时，x无解，
经检验x=3是原方程的解
所以原方程的解为x=3．

点评 本题考查了解无理方程，在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中设y=$\sqrt{1+\frac{9}{x}}$，需要注意的是结果需检验．