小明遇到这样一个问题:如图1.在锐角△ABC中.AD.BE.CF分别为△ABC的高.求证:∠AFE=∠ACB．小明是这样思考问题的:如图2.以BC为直径作半⊙O.则点F.E在⊙O上.∠BFE+∠BCE=180°.所以∠AFE=∠ACB．请回答:若∠ABC=40°.则∠AEF的度数是40°．参考小明思考问题的方法.解决问题:如图3.在锐角△ABC中.AD.BE.CF分别为△ABC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．小明遇到这样一个问题：
如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB．
小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径作半⊙O，则点F、E在⊙O上，
∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB．
请回答：若∠ABC=40°，则∠AEF的度数是40°．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF=∠CDE．

分析（1）利用圆的内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠CEF=180°，又由邻补角的定义，可得∠CEF+∠AEF=180°，继而求得∠AEF=∠ABC=40°．
（2）首先由在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，证得点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上，点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上，则可得∠CDE=∠BAE，∠BDF=∠BAC，继而证得结论．

解答（1）解：∵∠ABC+∠CEF=180°，∠CEF+∠AEF=180°，
∴∠AEF=∠ABC=40°．
故答案为：40°．

（2）证明：∵在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上，
∴∠BAE+∠BDE=180°，
又∵∠CDE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠BAE，
同理：点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上．
∴∠BDF=∠BAC，
∴∠BDF=∠CDE．

点评此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意能证得点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上与点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上是关键．