Question

已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结AP，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠APB=90°，则AP⊥BC，由于P为BC中点，则AP为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得AB=AC；
（2）连结OP，易得OP为△ABC的中位线，则OP∥AC，由于PD⊥AC，所以OP⊥PD，根据切线的判定定理得PD是⊙O的切线；
（3）根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，则∠B=30°，在Rt△ABP中，PB=

1

2

BC=2，根据余弦的定义可计算出AB．

解答：（1）证明：连结AP，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
∵P为BC中点，
∴AP为BC的垂直平分线，
∴AB=AC；
（2）解：连结OP，如图，
∵点O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）解：∵AB=AB，
∴∠B=∠C，
∵∠CAB=120°，
∴∠B=30°，
在Rt△ABP中，PB=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴cos30°=

PB

AB

，
∴AB=

2

3 2

=

4 3

3

．
即⊙O的直径为

4 3

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．