题目内容
16．
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，6），B（$2\sqrt{3}$，0），且∠OBA=60°，将△OAB沿直线AB翻折，得到△CAB，点O与点C对应．（1）求点C的坐标；
（2）动点F从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线O--A--C向终点C运动，设△FOB的面积为S（S≠0），点F的运动时间为t秒，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点B作x轴垂线，交AC于点E，在点F的运动过程中，当t为何值时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形？
分析 （1）连接OC，过C点作CH⊥x轴于H点，易证△OAC是等边三角形，则OC=OA，在直角△OCH中，利用三角函数求得CH和OH，则C的坐标即可求得；
（2）分成当0＜t≤3和3＜t≤6两种情况，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分成B是顶角顶点和E是顶角顶点两种情况进行讨论．
解答 
解：（1）连接OC，过C点作CH⊥x轴于H点．
∵折叠△OAB，
∴OA=AC，∠OBA=∠CBA=60°，OB=CB，∠CBH=60°
∴△OAC是等边三角形
∴∠BCH=30°
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$x2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，OH=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵OC=OA=6，∠，COH=30°
∴CH=$\frac{1}{2}$×6=3．
∴C（3$\sqrt{3}$，3）；
（2）当0＜t≤3时：
OF=2t，S=$\frac{{2t×2\sqrt{3}}}{2}$=2$\sqrt{3}$t；
当3＜t≤6时：
AF=2t-6，
AG=t-3，OG=6-（t-3）=9-t，
S=$\frac{{2\sqrt{3}×（9-t）}}{2}$=9$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t；
（3）如图∵BE∥OA
∴∠ABE=∠OAB=30°
∴∠EBC=30°
∴CE=$\frac{1}{2}$BE，BE=AE
∴BE=4．
当E时顶角顶点时，
∵∠ABE=30°，∠BAC=30°，则当F运动到A点时，△BEF为等腰三角形，即t=3；
当B是顶角顶点时，即BF=BE时，△BOF≌△BCE，
∴OF=CE=2
∴t=1．
此时，△BEF为等边三角形．
综上所述，t=1或t=3时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形．
点评 本题考查了图形的折叠，以及等边三角形的判定与性质，正确对P的位置以及等腰△BEF进行讨论是关键．
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