Question

17．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，MF∥AD交AB于点E，交BC于点M，求证：$\frac{BE}{CF}=\frac{BM}{CM}$．

Answer 1

分析 过C作CN∥AD交BA的延长线于N，由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，根据平行线的性质得到∠3=∠1，∠2=∠F，等量代换得到∠3=∠F，于是得到AE=AF，AN=AC，由于CF=AF+AC=AN+AE，$\frac{BE}{EN}=\frac{BM}{CM}$，于是得到结论．

解答 证明：过C作CN∥AD交BA的延长线于N，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵MF∥AD，
∴∠3=∠1，∠2=∠F，
∴∠3=∠F，
∴AE=AF，
∵CN∥AD，
∴CN∥MF，
∴∠4=∠F，∠3=∠N，
∴∠4=∠N，
∴AN=AC，
∴CF=AF+AC=AN+AE，
∵$\frac{BE}{EN}=\frac{BM}{CM}$，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BM}{CM}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，等腰三角形判定，正确的作出辅助线是解题的关键．