题目内容

如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=
 
；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=
 
（用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想
OD
AD
+
OE
CE
+
OF
BF
的值，并说明理由．
考点：相似形综合题
专题：几何综合题,压轴题
分析：（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．
解答：解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，
故答案为：1：2，BD：BC；
（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，
如图②作OE⊥BC与E，作AF⊥BC与F，
∵OE∥AF，
∴△OED∽△AFD，
OD
AD
=
OE
AF
．
∵
S△BOC
S△ABC
=
1
2
BC•OE
1
2
BC•AF
=
OE
AF
，
∴
S△BOC
S△ABC
=
OD
AD
；
（3）
OD
AD
+
OE
CE
+
OF
BF
=1，理由如下：
由（2）得
OD
AD
=
S△BOC
S△ABC
，
OE
CE
=
S△AOB
S△ABC
，
OF
BF
=
S△AOC
S△ABC
．
∴
OD
AD
+
OE
CE
+
OF
BF
=
S△BOC
S△ABC
+
S△AOB
S△ABC
+
S△AOC
S△ABC

=
S△BOC+S△AOB+S△AOC
S△ABC

=
S△ABC
S△ABC

=1．
点评：本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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（只填写序号）．
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1
2
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1
2
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k
x
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1
2
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