题目内容

如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=10 
2
cm，∠C=45°，在线段BA上，动点E以每秒2cm的速度从点B出发向点A做匀速运动，在线段CA上，动点F从点C出发向点A做匀速运动，速度为每秒acm，当点E、F其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点E、F作BC的垂线，垂足为Q、P，连接EF．若点E、F同时运动，运动时间为t秒，在运动过程中四边形EFPQ总为矩形（点E、F重合除外）．
（1）求a的值；
（2）当t为多少时，矩形EFPQ为正方形；
（3）当t为多少时，矩形EFPQ的面积S最大？并求出最大值．（以上结果保留根号）
考点：相似形综合题
专题：解题思想
分析：（1）根据直角三角形得出BE、BQ和EQ关系，FC、PF和PC的关系，即可得出答案；
（2）矩形EFPQ为正方形，则有EQ=QP，得出方程，求出即可；
（3）在二次函数中，当x等于对称轴值时可以取得最值．
解答：解：作AH⊥BC于H，
在直角△AHC中，由AC=10
2
cm，∠C=45°，得AH=HC=10cm，
在直角△ABH中，AB=20cm，AH=10cm．由勾股定理得：BH=10
3
cm．∠B=30°，
（1）过t秒后，EQ=
1
2
EB=tcm，FP=
2
2
CF=
2
2
atcm，
∵四边形PEFQ总为矩形，
∴EQ=PF，即t=
2
2
at，
解得：a=
2
cm/s；

（2）过t秒后，矩形EFPQ为正方形，
∵由（1）得：BQ=
3
t，PC=t，
∴PQ=BC-BQ-CP=10+10
3
-
3
t-t，
∵四边形PEFQ为正方形，则EQ=PQ，得10+10
3
-
3
t-t=t，
解得t=
10(
3 
+1)
2+
3
=10（
3
-1）秒；

 （3）过t秒后，S=t（10+10
3
-
3
t-t）
=（1+
3
）t（10-t）
=-（1+
3
）（t2-10t）
当t=-
b
2a
=5秒时，S最大值=25（1+
3
）cm2．
点评：本题考查了由动点产生的相似三角形，矩形、正方形，二次函数求最值问题的应用，题目综合性强，难度偏大．
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2
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12
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38
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1
a-2
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1
a-2
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．

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