Question

直线l的解析式为y=

3

4

x+8，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l相切于B点．
（1）求点P的坐标及⊙P的半径R；
（2）若⊙P以每秒

10

3

个单位沿x轴向左运动，同时⊙P的半径以每秒

2

3

个单位变小，设⊙P的运动时间为t秒，且⊙P始终与直线l有交点，试求t的取值范围；
（3）在（2）中，设⊙P被直线l截得的弦长为a，问是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值；
（4）在（2）中，设⊙P与直线l的一个交点为Q，使得△APQ与△ABO相似，请直接写出此时t的值．

Answer 1

分析：（1）直线l的解析式y=

3

4

x+8，与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A（-

32

3

，0），B（0，8），再得出△ABO∽△BPO，进而求出OP的长，再利用勾股定理求出即可．
（2）由R≥点P到直线L的距离，则⊙P始终与直线l有交点，求得t的取值范围．
（3）先假设存在这样的t，然后由二次函数最值求法求出t值．
（4）利用在（2）中，设⊙P与直线l的一个交点为Q，使得△APQ与△ABO相似，即PQ⊥AB时就符合要求求出即可．

解答：解：（1）如图，由于直线ly=

3

4

x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∵y=

3

4

x+8，
∴y=0，x=-

32

3

．A（-

32

3

，0），
∴x=0，y=8．B（0，8），
又OB⊥AP，AB切⊙P于B点，可以得到△ABO∽△BPO，
∴

BO

AO

=

PO

BO

，
∴

8

32 3

=

OP

8

，
∴OP=6，
P为圆心的圆与直线L相切于B点．
R=PB=

62+82

=10；

（2）∵R是点P到直线L的距离，则⊙P始终与直线l有交点．
P[（6-

10

3

t），0]，R=10-

2t

3

，L：3x-4y+32=0，
点P到直线L的距离H=|10-2t|，
10-

2t

3

≥|10-2t|，
10-

2t

3

≥10-2t≥-（10-

2t

3

），
t≤0，
点P到直线L的距离：H=|10-2t|，
10-

2t

3

≥10-2t≥-（10-

2t

3

），
7.5≥t≥0；

（3）∵（

a

2

）²=R²-H²=（10-

2t

3

）²-（10-2t）²=（-

32

9

）×（t-

15

4

）²+50，
t=

15

4

，（

a

2

）²_最大=50，a_最大=10

2

；

（4）∵在（2）中，设⊙P与直线l的一个交点为Q，使得△APQ与△ABO相似，
即△APQ与△ABO相似，∴PQ垂直AB，
∴⊙P与直线L相切，
t=0，或t=7.5．
当△APQ∽△AOB时，PQ⊥OA，则

PQ

OB

=

AP

AO

，即

10- 2t 3

8

=

6- 10t 3 + 32 3

32 3

，
解得：t=

5

11

．
则t=0，或t=7.5或

5

11

．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质和二次函数最值求法等知识，根据已知借助数形结合得出相似三角形是解决问题的关键．