Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，过点B作BD⊥BC，BD=BC，连接AD交BC于点F．
（1）若AB=BD，求∠ADC的度数；
（2）若BC=4BF，且AB=5，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质证明△ABC是等边三角形，再利用三角形的内角和解答即可；
（2）作AE⊥BC于E，利用全等三角形的判定和性质、勾股定理进行解答．

解答 解：（1）∵BC=BD，且BD⊥BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∵AC=AB=BD=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，
∴AB=BD，
∴∠ADB=∠DAB=（180°-150°）÷2=15°，
∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=45°-15°=30°；
（2）如图所示，作AE⊥BC于E，

由题意知△ABC是等腰三角形，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=4BF，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=EF，
在△BDF与△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠AEF=90°}\\{∠BFD=∠EFA}\\{BF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EAF（AAS），
∴BD=AE，
∵BC=BD，
∴BC=AE，
∴AE=2BE，
在RT△ABE中，BE²+AE²=AB²，即BE²+4BE²=25，
解得：$BE=\sqrt{5}$，
∴$BD=BC=AE=2BE=2\sqrt{5}$，
∴${S}_{四边形ABDC}={S}_{△ABC}{+S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BC•AE+\frac{1}{2}BC•BD=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}=20$．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用全等三角形的判定和性质、勾股定理进行解答．