Question

19．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）CF=5，cos∠A=$\frac{2}{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质得到∠COD=∠A．由cos∠A=cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{2}{5}$，设⊙O的半径为R，于是得到$\frac{R}{R+5}$=$\frac{2}{5}$，解得R=$\frac{10}{3}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠A=cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{2}{5}$，
设⊙O的半径为R，则$\frac{R}{R+5}$=$\frac{2}{5}$，
解得R=$\frac{10}{3}$，
∴AB=2OD=$\frac{20}{3}$．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AE}{5+\frac{20}{3}}$=$\frac{2}{5}$，
∴AE=$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．