Question

（2012•安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：
①S₁+S₂=S₃+S₄；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂；④若S₁=S₂，则P点在矩形的对角线上．
其中正确的结论的序号是

②和④

（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析：根据三角形面积求法以及矩形性质得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面积，以及

PF

PE

=

AB

AD

，

PF

CD

=

PE

BC

，即可得出P点一定在AC上．

解答：解：如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面积；
同理可得出S₂+S₄=

1

2

矩形ABCD面积；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S₁+S₂=S₃+S₄．但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．故①不一定正确；
③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故此选项错误；
④若S₁=S₂，

1

2

×PF×AD=

1

2

PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：

PF

PE

=

AB

AD

，
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD位似，
∴

PF

CD

=

PE

BC

，
∴P点在矩形的对角线上．
故④选项正确，
故答案为：②和④．

点评：此题主要考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出

PF

CD

=

PE

BC

是解题关键．