Question

如图，抛物线y=

1

3

x2+bx+c经过A（-

3

，0）、B（0，-3）两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，直线l与直线AB交于点D，与x轴交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接BC，求ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得b，c的值，即可得解析式；
（2）利用公式：二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-

b

2a

，顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）即可求解；点D是直线AB与对称轴的交点，求得直线AB的解析式即可求得D的坐标，则可求得CD的长，由△AED与△ACE的面积差即可得结果．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

3

x²+bx+c
经过A（-

3

，0）、B（0，-3）两点
∴

1 3 (- 3 )2- 3 b+c=0 c=-3

解得

b=- 2 3 3 c=-3

∴此抛物线的解析式为 y=

1

3

x2-

2 3

3

x-3．

（2）由（1）可得此抛物线的对称轴l为 x=

3

，
顶点C的坐标为（

3

，-4）
作BF⊥l于点F，如图
则 BF=

3

∴CF=4-3=1
由勾股定理得 BC=

( 3 )2+12

=2
则S_{四边形ABCD}=S_△AED-S_△ACE=

1

2

AE•ED-

1

2

AE•EC=

1

2

AE(ED-EC)=

1

2

AE•CD=

1

2

×2

3

×(4-2)=2

3

．
答：此抛物线的解析式为 y=

1

3

x2-

2 3

3

x-3；ABCD的面积为2

3

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．