Question

13．阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，且AB=|a-b|；
回答下列问题：
（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是|x-2|；
②在①的情况下，如果AB=3，那么x为-1或5；
（2）代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．
（3）若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c，a是最大的负整数，且（c-5）²+|a+b|=0，
①直接写出a、b、c的值．
②点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

Answer 1

分析 （1）①根据两点之间的距离公式可得；②根据距离公式得出关于x的绝对值方程，解之可得；
（2）|x+1|+|x-2|的最小值，意思是x到-1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上；
（3）①先根据a是最大的负整数，求出a，再根据c²+|a+b|=0，即可求出a、b；②先求出BC=2t+4，AB=2t+2，从而得出BC-AB=2．

解答 解：（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是|x-2|；
②在①的情况下，如果AB=3，|x-2|=3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为：|x-2|，-1或5．

（2）由数形结合得，
若|x+1|+|x-2|取最小值，那么表示x的点在-1和2之间的线段上，
所以-1≤x≤2，最小值是3，
故答案为：-1≤x≤2；
（3）①∵a是最大的负整数，
∴a=-1．
∵（c-5）²+|a+b|=0，
∴b=1，c=5；

②BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，
∴BC=2t+4，AB=2t+2，
∴BC-AB=（2t+4）-（2t+2）=2．

点评 本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．