题目内容

6．如图是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为8的正三角形，三个侧面都是矩形，现将宽为12cm的矩形纸带ABCD裁剪成一个平行四边形AECF，然后用这条平行四边形纸带把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1）求出图中∠EAF的度数；
（2）计算包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长．

分析 （1）根据题意先求得AB=24cm，由纸带的宽为12cm，根据三角函数求得∠EAF=30°；
（2）由三棱柱的侧面展开图求出CE和BE的长，即是所需的矩形纸带的长度．

解答 解：（1）由图2的包贴方法知：
∵AE的长等于三棱柱的底边周长，
∴AE=24cm，
∵纸带的宽为12cm，
∴sin∠EAF=sin∠AEB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{12}{24}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EAF=30°；

（2）在图3中将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得知如图甲的侧面展开图．
将图甲的△AEQ向左平移24cm，△CFP向右平移24cm，拼成如图乙中的平行四边形AMCN，此平行四边形即为图2中的平行四边形AECF．
由题意得：图2中的EC=图乙中的AM=2AQ=2AE÷cos∠EAQ=48÷cos30°=32$\sqrt{3}$（cm），
故所需的矩形纸带的长度为BE+CE=24×cos30°+32$\sqrt{3}$=44$\sqrt{3}$cm．

点评 本题是一道综合题，考查立体图形的侧面展开图，结合三角函数进行计算，难度较大．

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