先阅读材料再回答问题:如图线段AB=4.AC=1.BD=2.且AC⊥AB.BD⊥AB.点P在线段AB上运动.当AP=a时.则BP=4-a.PC=$\sqrt{1{+a}^{2}}$.PD=$\sqrt{4{+(4-a)}^{2}}$.由此可求得CP+DP的最小值为5．那么请问:代数式$\sqrt{4{+x}^{2}}$+$\sqrt{16{+(5-x)}^{2}}$的最小值为( )A．10B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．

先阅读材料再回答问题：如图线段AB=4，AC=1，BD=2，且AC⊥AB，BD⊥AB，点P在线段AB上运动，当AP=a时，则BP=4-a，PC=$\sqrt{1{+a}^{2}}$，PD=$\sqrt{4{+（4-a）}^{2}}$，由此可求得CP+DP的最小值为5．那么请问：代数式$\sqrt{4{+x}^{2}}$+$\sqrt{16{+（5-x）}^{2}}$的最小值为（　　）

A．

10

B．

2$\sqrt{10}$

C．

$\sqrt{61}$

D．

$\sqrt{41}$

分析设AB=5，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=2，BD=4，PA=x，PB=5-x，作C点关于AB的对称点C′，连接C'D，过C′作AB的平行线，交BD的延长线于E．根据勾股定理求出CD′的长，即为代数式$\sqrt{4{+x}^{2}}$+$\sqrt{16{+（5-x）}^{2}}$的最小值．

解答解：
如右图．构造图形，AB=5，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=2，BD=4，PA=x，PB=5-x，
作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于P，则PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，
过D′作AB的平行线，交CB的延长线于E．
由勾股定理可得：CP=C'P=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，PD=$\sqrt{16+（5-x）^{2}}$，
在△CED′中，∠E=90°，C′E=AB=5，DE=DB+BE=4+2=6，
由对称性可知，PC+PD的最小值为PC'+PD=CD′=$\sqrt{{5}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
所以代数式$\sqrt{4{+x}^{2}}$+$\sqrt{16{+（5-x）}^{2}}$的最小值为$\sqrt{61}$，
故选C．

点评本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，构造出图形利用勾股定理求解是解答此题的关键．

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