题目内容
13．综合与实践：“四扇纸风车”的制作阅读“四扇纸风车”的制作过程，解决下列问题：“四扇纸风车”是如何制作的呢？如图1，首先，裁剪一块边长为12cm的正方形纸张；将花纹面朝下，使用你的尺子，画两条对角线（或沿其对角线对折）；找到对角线的交点O，用按钉按下做个标记；在被交点O所分成的四条线段上靠近交点O的三等分点处分别做标记；如图2，然后由正方形的每个角开始延对角线剪开，到记号处停下；这样就有8个可折叠的角，将不相邻的四个角（不相邻指两角中间隔一角）折向中心；再用铁丝或钉子把它固定在一根木棍上就制作好了．
任务一：
（1）如图2是制作过程中在对角线上做好标记的示意图，请求出正方形每个角处沿对角线剪开的长度；
（2）求出标记点E到正方形ABCD的顶点B的距离．
任务二：
若将“距交点O的$\frac{2}{3}$处做标记”改为“距交点O的$\frac{1}{2}$处做标记”并将不相邻的四个角折叠、压平，使角的顶点与交点O重合，其余条件不变．
（1）请在图3中，把“四扇纸风车”的示意图补充完整，并将重叠部分图上阴影；
（2）求出（1）中补充完整后的“四扇纸风车”示意图中重叠部分的面积．
分析 任务一（1）根据正方形的性质得出∠ABO=45°，利用锐角三角函数求出OA，最后得出AE；
（2）连接BE，求出OE，再用勾股定理求出BE，即可；
任务二（1）由折叠的性质直接画出图形即可；
（2）由折叠得出每一个阴影部分是等腰直角三角形，求出每一个等腰直角三角形的即即可．
解答 解：任务一：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ABO=45°，
在Rt△AOB中，sin∠AOB=$\frac{OA}{AB}$，
∴OA=ABsin∠AOB=12×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$OA=4$\sqrt{2}$，
∴正方形每个角处沿对角线剪开的长度为4$\sqrt{2}$；
（2）如图2，
连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，OA=OB=6$\sqrt{2}$，
∴OE=6$\sqrt{2}$-4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴标记点E到正方形ABCD的顶点B的距离为4$\sqrt{5}$cm；
任务二：
（1）如图所示：
（2）由题意可知：重叠部分三角形是等腰直角三角形，且四个三角形的面积相等．
其中一块重叠部分的面积为：$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=9，
∴“四扇纸风车”示意图中重叠部分的面积为：4×9=36cm2．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，三角函数，勾股定理，三角形的面积公式，求出BE是解本题的关键．
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