Question

13．已知△ABC中，∠A、∠B均为锐角，c=4，sin∠A=cos∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求a、b的值．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于D，根据sin∠A=cos∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$得出$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AD=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，然后利用勾股定理得出b²=（4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²①，a²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²②，解两个关于a、b的方程即可求得．

解答 解：作CD⊥AB于D，
∵sin∠A=cos∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AD=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵AC²=AD²+CD²，BC²=CD²+BD²，
即b²=（4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²①，a²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²②，
整理②得，a=2$\sqrt{3}$b，代入①得，b=$\frac{8}{7}$，
∴a=$\frac{16\sqrt{3}}{7}$，
故a、b的值分别为$\frac{16\sqrt{3}}{7}$和$\frac{8}{7}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．