Question

20．提出问题：如图①，在正方形ABCD中，点P，F分别在边BC、AB上，若AP⊥DF于点H，则AP=DF．类比探究：
（1）如图②，在正方形ABCD中，点P、F．、G分别在边BC、AB、AD上，若GP⊥DF于点H，探究线段GP与DF的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，在正方形ABCD中，点P、F、G分别在边BC、AB、AD上，GP⊥DF于点H，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF，若四边形DFEP为菱形，探究DG和PC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如答图1，过点A作AM⊥DF 交BC于点M．通过证明△BAM≌△ADF得到其对应边相等：AM=DF，则又由平行四边形的性质推知AM=GP，则GP=DF；
（2）如答图2，过点P作FN⊥AD与点N．根据菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”的性质推知DG=2DN，然后结合矩形DNPC的性质得到：DG=2PC．

解答 解：（1）GP=DF．理由如下：
如答图1，过点A作AM⊥DF 交BC于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B═90°，
∴∠BAM=∠ADF，
在△BAM与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAF=90°}\\{AB=DA}\\{∠BAM=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△ADF（ASA），
∴AM=DF
又∵四边形AMPG为平行四边形，
∴AM=GP，即GP=DF；

（2）DG=2PC．理由如下：
如答图2，过点P作FN⊥AD交AD于点N．
若四边形DFEP为菱形，则DP=DF，
∵DP=DF，
∴DP=GP，即DG=2DN．
∵四边形DNPC为矩形，
∴PC=DN，
∴DG=2PC．

点评 本题考查了四边形综合题，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．