Question

二次函数y=ax²+bx+c中，设a=2m，b=1-m，c=-1-m，下面的四个结论，其中正确的结论有（　　）
①当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（

1

3

，

8

3

）
②当m＞0时，函数图象截x轴所得线段的长度大于

3

2

③当m＜0时，函数在x＞

1

4

时，y随x的增大而减小
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．

• A、①②③④
• B、①②④
• C、①③④
• D、②④

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：计算题

分析：①根据题意求得抛物线的解析式，利用顶点式方程来求顶点坐标；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．

解答：解：①当m=-3时，a=-6，b=4，c=2，则
抛物线的解析式为：y=-6x²+4x+2=-6（x-

1

3

）²+

8

3

，所以顶点坐标是：（

1

3

，

8

3

）．故①正确；

②当m＞0时，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=

(m-1)±(3m+1)

4m

，x₁=1，x₂=-

1

2

-

1

2m

，
|x₂-x₁|=

3

2

+

1

2m

＞

3

2

，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于

3

2

．
故②正确；

③当m＜0时，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=

m-1

4m

，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，

m-1

4m

=

1

4

-

1

4m

＞

1

4

，即对称轴在x=

1

4

右边，因此函数在x=

1

4

右边先递增到对称轴位置，再递减．
故③错误；

④当x=1时，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
故④正确；
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故选：B．

点评：此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．