Question

7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）若函数y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（2）将函数y=x²（-1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足$\frac{3}{4}$≤t≤1？

Answer 1

分析 （1）根据函数的增减性、边界值确定a=-1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围；
（2）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（-1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（-1，1-m）、（0，-m）；最后由函数边界值的定义列出不等式$\frac{3}{4}$≤1，-m≤1-m≤1或-1≤-m≤-$\frac{3}{4}$，易求m取值范围：0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

解答 解：（1）∵函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=-a+1=2，则a=-1
当x=b时，y=-b+1．则$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-b+1＜2}\\{b＞a}\\{a=-1}\end{array}\right.$，
∴-1＜b≤3；

（2）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界t＞1，与题意不符，故m≤1．
当x=-1时，y=1 即过点（-1，1）
当x=0时，y_最小=0，即过点（0，0），
都向下平移m个单位，则
（-1，1-m）、（0，-m）$\frac{3}{4}$≤1-m≤1或-1≤-m≤-$\frac{3}{4}$，
∴0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

点评 本题考查了二次函数综合题，结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质，掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题的关键．