Question

如图，已知AB=2，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，连接PG，则PG的最小值是

 

．

Answer 1

考点：梯形中位线定理,垂线段最短,等边三角形的性质

专题：

分析：当P在AB中点时，PG的值最小，首先证明△EPF是等腰三角形，再证明GP是∠EPF的角平分线，从而可以说明GP⊥AB，根据垂线段最短可得PG的值最小．然后再利用勾股定理计算出GP的长度即可．

解答：解：当P在AB中点时，PG的值最小，
∵△AEP和△PFB是等边三角形，
∴∠FPB=∠EPA=60°，EP=AP，FP=PB，
∴∠EPF=60°，
∵P在AB中点，AB=2，
∴AP=BP=1，
∴EP=FP=1，
∴△EPF是等腰三角形，
∵EF的中点为G，
∴∠EPG=∠FPG=

1

2

∠EPF=30°，PG⊥EF，
∴∠GPB=90°，根据垂线段最短可得GP最小，
∴GF=

1

2

，
∴GP=

1- 1 4

=

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：此题主要考查了垂线段最短，等边三角形的性质，以及勾股定理的应用，关键是找到P在AB中点时，PG的值最小．