Question

13．已知：如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且四边形EFGH也是正方形，设AE=x，正方形EFGH的面积为S．
（1）求证：△AEH≌△BFE；
（2）求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质，用AAS证明△AEH≌△BFE；
（2）利用△AEH≌△BFE，得到BF=AE=x，利用勾股定理，在Rt△BFE中，EF²=BF²+BE²=x²+（1-x）²，所以S=EF²=x²+（1-x）²=2x²-2x+1．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，四边形EFGH也是正方形，
∴∠A=∠B=∠HEF=90°，EH=FE，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
在△AEH和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AHE=∠BEF}\\{EH=FE}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE．
（2）∵△AEH≌△BFE，
∴BF=AE=x，（0＜x＜1）
在Rt△BFE中，EF²=BF²+BE²=x²+（1-x）²，
∴S=EF²=x²+（1-x）²=2x²-2x+1，（0＜x＜1）

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明）△AEH≌△BFE．