Question

18．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=（m-1）x²-（3m-4）x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y轴平行的直线，点P是抛物线上的一点，点Q是y轴上一点；

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若tan∠PCB=$\frac{1}{2}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值得对应关系，可得关于x的方程，根据解方程，可得A，B点坐标，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得m的值；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等，可得PQ的长，根据解方程，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（3）根据题意首先得出直线BC的解析式，进而利用PR的长结合tan∠PCB=2得出P点横坐标，进而求出答案．

解答 解：（1）当y=0时，（m-1）x²-（3m-4）x-3=0，
解得x₁=$\frac{1}{1-m}$，x₂=3，即A（$\frac{1}{1-m}$，0）B（3，0），
由A，B关于x=1对称，得
$\frac{1}{1-m}$=-1，解得m=2，
即A（-1，0），
函数解析式为y=x²-2x-3；
（2）由四边形ABPQ是平行四边形，得
PQ∥AB，PQ=AB=4，
当PQ=4，即x=4时，y=5，即P（4，5）；
当x=-4时，y=21，即P（-4，21），
综上所述：四边形ABPQ是平行四边形P（4，5），（-4，21）；
（3）如图
，
过P作PQ⊥x轴于Q，交CB延长线于R，过P作PH⊥BC于H，
设P（m，m²-2m-3），
∵抛物线y=x²-4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，
∴x=0，则y=-3；
y=0，则0=x²-4x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
故A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
故直线BC解析式：y=x-3，
∴R（m，m-3），PR=m²-2m-3-（m-3）=m²-3m，
∵OB=OC=3，
∴∠CBQ=135°，
∴∠HPR=45°，
∵CO=OB，
∴∠OCR=45°，
∴CR=$\sqrt{2}$OQ=$\sqrt{2}$m，
∴PH=RH=PR÷$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m-3），
又CR=$\sqrt{2}$OQ=$\sqrt{2}$m，
∴CH=$\sqrt{2}$m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m-3）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m+1）
由tan∠PCB=$\frac{PH}{CH}$=$\frac{m-3}{m+1}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=7，
则m²-2m-3=32，
故P（7，32）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用函数值相等的点关于对称轴对称得出m的值；解（2）的关键是利用平行四边形的对边平行且相等得出P点的横坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；正确结合锐角三角函数关系得出P点横坐标是解（3）题的关键．