Question

19．如图，已知：矩形ABCD，以对角线AC的中点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为点K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，AD=BC，于是得到∠DAE=∠BCK，得到∠BKC=∠AED=90°，推出△BKC≌△ADE，即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE=$\frac{1}{3}$AC，然后即可求得AC即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
在△BKC与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BCK}\\{∠BKC=∠AED}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；

（2）DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F为EG中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=$\frac{1}{2}$BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，
∴EF为△ABK的中位线，
∴AF=BF，
又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，
在△AFD≌△BFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠H}\\{∠DAF=∠HBF}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BFH（AAS），
∴HF=DF=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，
∴∠AEF=∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DAE，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE：ED=EF：AE，
∴AE²=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3$\sqrt{2}$，
∵△AED∽△HEC，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{ED}{HE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{1}{3}$AC，
∴AC=9$\sqrt{2}$，
则AO=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
故⊙O的半径是$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目．