如图.在平面直角坐标系中.A.且|$\frac{a}{2}$$+\frac{b}{3}$|+2=0．(1)求a.b的值,(2)①在y轴上的负半轴上存在一点M.使△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积.求出点M的坐标,②在坐标轴的其它位置是否存在点M.使结论“△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积仍然成立?若存在.请直接写出符合条件的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，3），且|$\frac{a}{2}$$+\frac{b}{3}$|+（4a-b+11）²=0．
（1）求a、b的值；
（2）①在y轴上的负半轴上存在一点M，使△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据|$\frac{a}{2}$$+\frac{b}{3}$|+（4a-b+11）²=0，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=0}\\{4a-b+11=0}\end{array}\right.$，据此求出a、b的值即可．
（2）首先过点C作CG⊥x轴，CH⊥y轴，垂足分别为G、H，然后根据三角形的面积的求法，求出△ABC的面积，再用它除以2，求出△COM的面积是多少，进而求出点M的坐标即可．
（3）首先根据点M的坐标是（0，-7.5）时，△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积，可得点M的坐标是（0，7.5）时，△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积；然后根据三角形的高一定时，面积和底成正比，可得点M的坐标是（2.5，0）或（-2.5，0）时，△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积，据此解答即可．

解答解：（1）∵|$\frac{a}{2}$$+\frac{b}{3}$|+（4a-b+11）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=0}\\{4a-b+11=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴a的值是-2，b的值是3．

（2）如图1，过点C作CG⊥x轴，CH⊥y轴，垂足分别为G、H，
∵A（-2，0），B（3，0），
∴AB=3-（-2）=5，
∵点C的坐标是（-1，3），
∴CG=3，CH=1，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$，
∴${S}_{△COM}=\frac{15}{4}$，
即$\frac{1}{2}OM•CH=\frac{15}{4}$，
∴OM=$\frac{15}{2}=7.5$，
∴点M的坐标是（0，-7.5）．

（3）∵点M的坐标是（0，-7.5）时，△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积，
∴点M的坐标是（0，7.5）时，△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积；
∵三角形的高一定时，面积和底成正比，
∴点M的坐标是（2.5，0）或（-2.5，0）时，
△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积．
综上，可得
在坐标轴的其它位置存在点M，使结论“△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积”仍然成立，
符合条件的点M的坐标有3个：（0，7.5）、（2.5，0）或（-2.5，0）．