Question

17．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE，分别交AB和CD于G、H，求GF的长，并求$\frac{GF}{GH}$的值．

Answer 1

分析 先在RT△ADE中求出AE，再利用△AFG∽△ADE得$\frac{GF}{DE}$=$\frac{AF}{AD}$，即可求出FG，再利用△ADE≌△GMH证明AE=GH即可求出FH即可解决问题．

解答 解：作GM⊥BC垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC=4，∠ADC=∠=90°，
在RtABE中，∵DE=DC=2，AD=4
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AF=EF，
∴AF=$\sqrt{5}$，
∵∠FAG=∠DAE，∠AFG=∠ADE=90°
∴△AFG∽△ADE
得$\frac{GF}{DE}$=$\frac{AF}{AD}$，
∴$\frac{GF}{2}=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，
∴GF=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∵∠GDC=∠D=∠DCM=∠CMD=90°，
∴四边形GMCD是矩形，
∴GM=CD=AD，∠MGD=90°，
∴∠HGM+∠AGF=90°，∠AGF+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠GHM，
在△ADE和△GMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠MGH}\\{∠ADE=∠GMH}\\{AD=GM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GMH，
∴HG=AE=2$\sqrt{5}$，FH=GH-FG=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{GF}{GH}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．