Question

如图△ABC和△AEF中，AB=AC，AF=AE，∠BAC=∠EAF，FC，BE交于M，连接AM．
①如图1，若∠BAC=∠EAF=90°，则∠AME=

135°

；
②如图2，若∠BAC=∠EAF=60°，则∠AME=

120°

；
③如图3，若∠BAC=∠EAF=α，则∠AME=

90°+

1

2

α

，请证明你的结论．

Answer 1

分析：①由∠BAC=∠EAF得∠FAC=∠EAB，并且AB=AC，AF=AE，∠BAC=∠EAF=90°，得到∠ACB=45°，易证△AFC≌△AEB，则∠ACF=∠ABE，则点A、B、C、M共圆，得到∠AMB=∠ACB=45°，于是得到∠AME=135°；
②同①一样，只是∠BAC=∠EAF=60°，得到∠ACB=60°，则∠AMB=∠ACB=60°，于是得到∠AME=120°；
③证明方法与①一样，∠AMB=∠ACB，∠BAC=∠EAF=α，则∠ACB=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α，则∠AMB=90°-

1

2

α，根据平角的定义得到∠AME=180°-∠AMB，得到∠AME=90°+

1

2

α．

解答：解：①∵∠BAC=∠EAF，
∴∠FAC=∠EAB，
∵AB=AC，AF=AE，
∴△AFC≌△AEB，
∴∠ACF=∠ABE，
∴点A、B、C、M共圆，
∴∠AMB=∠ACB，
而∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠AME=180°-45°=135°．
故答案为135°；
（2）与②证明方法一样得到∠AMB=∠ACB，
而∠BAC=60°，
∴∠ACB=60°，
∴∠AME=180°-60°=120°，
故答案为120°；
③∠AME=90°+

1

2

α．理由如下：
∵∠BAC=∠EAF=α，
∴∠FAC=∠EAB，
又∵AB=AC，AF=AE，
∴△AFC≌△AEB，
∴∠ACF=∠ABE，
∴点A、B、C、M共圆，
∴∠AMB=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α，
∴∠AMB=90°-

1

2

α，
∴∠AME=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，并且它们的夹角也相等的两三角形全等；全等三角形的对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质以及四点共圆的判定与性质．