Question

7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°，P点的对应点为点Q．

（1）求点B的坐标；
（2）当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°；
（3）连接OQ，在点P运动的过程中，当OQ平行AB时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图，作辅助线；证明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题；
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．

解答 解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA=2，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为B（$\sqrt{3}$，1）；

（2）
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO与△AQB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°；

（3）当点P在x轴正半轴上时，
∵∠OAB=60°，
∴将AP绕点A逆时针旋转60°时，点Q在点B上方，
∴OQ和AB必相交，

当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
在Rt△BOQ中，OB=2，∠OBQ=90°-∠BOQ=30°，
∴BQ=$\sqrt{3}$，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=$\sqrt{3}$，
∴此时P的坐标为（-$\sqrt{3}$，0）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转得性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解（1）的关键是求出OC，解（2）的关键是判断出∠PAO=∠QAB，解（3）的关键是求出BQ，是一道中等难度得中考常考题．