Question

2．如图在△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC中点．AD、BE、CF交于点G，BD=2DC，S_△GCE=4，S_△GCD=5，求△ABC的面积？
思路1：由E为AC中点，得S_△ACE=4
从而S_△ACD=S_△GAE+S_△GCE+S_△GCD=4+4+5=13
∵BD=2DC∴BC=3DC
∴S_△ABC=3S_△ACD=3×13=39
思路2：∵BD=2DC∴BC=3DC
∴S_△GBC=3S_△GCD=3×5=15
∴S_△BCE=S_△GBC+S_△GCE=15+4=19
又∵E为AC中点，
∴S_△ABC=2S_△BCE=2×19=38
问题：上面这道题目用两种不同的思路来求解．但得到的结果却不同．问题出在哪里？如思路有问题．请纠正；若思路没有问题．请探究问题出在哪里？并说明理由．

Answer 1

分析 先假设S_△GCE=4，再假设S_△GCD=x，第一种思路：首先得出S_△ACD=8，S_△ACD=8+x，得出S_△ABC=3S_△ACD=24+3x；第二种思路：S_△GBC=3S_△GCD=3x，S_△BCE=3x+4，S_△ABC=2S_△BCE=6x+8；联立方程求得x=$\frac{16}{3}$，也就是S_△GCD=$\frac{16}{3}$，这与原题S_△GCD=5矛盾．

解答 解：假设S_△GCE=4，S_△GCD=x；
思路1：由E为AC中点，得S_△ACE=4
从而S_△ACD=S_△GAE+S_△GCE+S_△GCD=8+x，
∵BD=2DC∴BC=3DC
∴S_△ABC=3S_△ACD=24+3x；
思路2：∵BD=2DC，
∴BC=3DC
∴S_△GBC=3S_△GCD=3x，
∴S_△BCE=S_△GBC+S_△GCE=3x+4
又∵E为AC中点，
∴S_△ABC=2S_△BCE=6x+8；
∴24+3x=6x+8，
解得x=$\frac{16}{3}$，
S_△GCD=$\frac{16}{3}$，这与原题S_△GCD=5矛盾．
也就是说△GCD的面积没有确定．

点评 此题考查三角形的面积，掌握等底等高，等底不等高，等高不等底的三角形之间的面积关系是解决问题的关键．