Question

19．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且DE=DC，过点C作CF⊥DE，垂足为点F．
（1）猜想：DA与CF的大小关系，并说明理由；
（2）证明：EB=EF．

Answer 1

分析 （1）猜想：DA=CF．只要证明△AED≌△FDC，即可证明．
（2）连接CE．只要证明Rt△CBE≌Rt△CFE即可．

解答 （1）猜想：DA=CF．
证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AEF．
在△AED和△FDC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠FDC}\\{∠EAD=∠DFC}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FDC（AAS）．
∴DA=CF．

（2）证明：连接CE．
∵DA=CF，AD=BC，
∴CB=CF．
在Rt△CBE和Rt△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CF}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL），
∴BE=EF．

点评 本题考查了三角形全等的判定及性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．