题目内容
3．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，李敏发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，
②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，所以S=$\frac{{3}^{9}-1}{2}$．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母a（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2017的值？如能求出，其正确答案是$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$（a≠0且a≠1）．
分析 仿照例子，将3换成a，设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2016（a≠0且a≠1），则有aS=a+a2+a3+a4+…+a2017，二者做差后两边同时除以a-1，即可得出结论．
解答 解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2016（a≠0且≠1）①，
将①×a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a2017②，
由②-①得：aS-S=a2017-1，即S=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$，
∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$（a≠0且a≠1）．
故答案为：$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$（a≠0且a≠1）．
点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算1+a+a2+a3+a4+…+a2016．本题属于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论，此题中尤其要注意a的取值范围．
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