Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+2与x轴、y轴分别交于A、B    两点，以AB为腰长在第二象限内作等腰直角△ABC
（1）求点A、B的坐标，并求AB的长；
（2）求点C的坐标；
（3）你能否在x轴上找一点M，使△MCB的周长最小？如果能，请求出M点的坐标；如果不能，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B两点的坐标；
（2）过C做线段CE垂直x轴，交x轴与E，根据AAS定理得出△DEA≌△AOB．故CE=AO，EA=OB，由此可得出结论；
（3）作B关于x轴的对称点B′，连接CB′，与x轴的交点即为点M则B′（0，-2），利用待定系数法求出直线M B′的解析式，进而可得出点M的坐标．

解答：解：（1）当y=0时，x=-4，则A的坐标（-4，0），
当x=0时，y=2，则B的坐标（0，2），
∴AB=

22+42

=

20

；

（2）过C做线段CE垂直x轴，交x轴与E
∵∠ACE+∠EAC=90°，∠EAC+∠BAO=90°，
∴∠ACE=∠BAO，
在△DEA与△AOB中，

∠ACE=∠BAO ∠AEC=∠BOA AC=AB

，
∴△DEA≌△AOB（AAS），
∴CE=AO=4，EA=OB=2，
∴C的坐标为（-6，4）；

（3）作B关于x轴的对称点B′，连接CB′，与x轴的交点即为点M则B′（0，-2）．
设直线M B′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-6k+b=4 b=-2

，
解得

k=-1 b=-2

则直线M B′的解析式为y=-x-2．
当y=0时，x=-2，则M的坐标（-2，0）．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质、全等三角的判定与性质等知识是解答此题的关键．