Question

11．已知抛物线：y=x²-6mx+9m²-3（m是常数）．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点D；
（2）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴有两个不同的交点；
（3）设（2）中抛物线与x轴的两个不同交点为A、B，求证：不论m为何值，△ABD的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）根据a=1可判断抛物线的开口方向，然后利用配方法可求得抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点坐标和抛物线开口方向即可判断；
（3）根据根与系数的关系、完全平方公式求得|x₁=x₂|=2$\sqrt{3}$，然后利用三角形的面积公式可求得△ABD的面积=3$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵a=1，
∴抛物线的开口向下．
y=x²-6mx+9m²-3=（x-3m）²-3，
∴抛物线的对称轴为x=3m，顶点坐标为（3m，-3）．
（2）∵抛物线顶点坐标为（3m，-3），
∴顶点在x轴下方．
又∵抛物线开口向上，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴有两个不同的交点．
（3）由根与系数的关系可知：x₁+x₂=6m，x₁x₂=9m²-3．
∴AB=|x₁=x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（6m）^{2}-4（9{m}^{2}-3）}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}×AB×|-3|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3$=3$\sqrt{3}$．
∴不论m为何值，△ABD的面积为定值．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．