Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，且AD=DC，以A为圆心，AB为半径作⊙A，交CA延长线于点E．
（1）求证：直线DC是⊙A的切线；
（2）若P是

BE

的中点，PH⊥AE于H，若PH=5，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）过A作AF⊥CD，交CD延长线于F，根据平行线性质和等腰三角形性质推出∠DAC=∠DCA=∠ACB，根据角平分线性质得出AF=AB，根据切线判定推出即可；
（2）连接AP，交BE于N，根据垂径定理求出BE=2BN，证△ABN≌△APH，推出BN=PH=5，即可求出答案．

解答：（1）证明：过A作AF⊥CD，交CD延长线于F，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB，
∵∠ABC=90°，AF⊥CD，
∴AF=AB，
∴直线DC是⊙A的切线．

（2）解：连接AP，交BE于N，
∵P为弧BE中点，
∴AP⊥BE，BE=2BN=2NE，
∴∠ANB=90°，
∵PH⊥AE，
∴∠PHA=∠BNA=90°，
∵AE=AB，
∴∠E=∠ABN，
∵∠PHA=∠ENA=90°，
∴∠E+∠EAP=90°，∠P+∠EAP=90°，
∴∠E=∠P，
∴∠P=∠ABN，
在△ABN和△APH中，

∠ABN=∠P ∠ANB=∠AHP AB=AP

，
∴△ABN≌△APH（AAS），
∴BN=PH，
∵PH=5，
∴BN=5，
∴BE=2BN=10．

点评：本题考查了垂径定理，切线的判定，平行线性质，等腰三角形性质，圆周角定理，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．